оценка интеграла от быстро осциллирующей экспоненты

[Agathis]

\[ \begin{gathered} I(x_1 ,x_2 ) = \int\limits_{ - \delta }^\delta {\exp \left\{ {i\lambda (x_1 \sqrt[4]{{1 - t^4 }} + x_2 t)} \right\}} \,f(t)\,dt \hfill \\ I(x_1 ) = \int\limits_{ - \delta }^\delta {\exp \left\{ {i\lambda (x_1 \sqrt[4]{{1 - t^4 }})} \right\}} \,f(t)\,dt \hfill \\ \end{gathered} \]

где

\[ f(t) \in C^\infty (\mathbb{R}) \]

\[ 0 < a \leqslant x_1 \leqslant b,\;\quad x_2 \in [ - \varepsilon ,.\varepsilon ] \]

\[ \lambda \to + \infty \]

-большой параметр,

\[ \delta ,\varepsilon \]

- малые, но фиксированные числа

нужно доказать, что существует такой

\[ x_1^0 \in [a,b] \]

, что

\[ I(x_1 ,x_2 ) = O(I(x_1^0 )) \]

для любого

\[ x \in [a,b] \times [ - \varepsilon ,.\varepsilon ] \]