Найти Ker(L) и Im(L)

[Maryvsev]

Дан эндоморфизм $ L: R^3 \to R^3 $ $L(x,y,z)=(3x, x+2y+z, x-y+4z)$ нужно найти Ker(L) и Im(L).

Я нашла что $Ker(L)={(o,y,y)}$ то есть базис $<(0,1,1)>$
$dimKer=1; dimIm=2$
А вот как найти базис отображения я не понимаю. На лекции был дан ответ $<(1,0,0),(0,1,0)>$. Првильно ли это? как это получается?

[AV_77]

Дополните базис ядра до базиса всего пространства. Это дополнение и будет базисом образа.

[Maryvsev]

AV_77 в сообщении #586597 писал(а):

Дополните базис ядра до базиса всего пространства. Это дополнение и будет базисом образа.

Что значит дополнить базис ядра до базиса всего просторанства? Если можно приведите пожалуйста какой-нибудь пример?

[arseniiv]

Добавьте в этот базис какие-то векторы, чтобы полученная система векторов являлась базисом пространства.

Например, базис плоскости $\{(x,y,0)\}$ до базиса трёхмерного пространства можно дополнить, добавив туда любой вектор вида $(x,y,z)$, $z\ne 0$.

[apriv]

AV_77 в сообщении #586597 писал(а):

Дополните базис ядра до базиса всего пространства. Это дополнение и будет базисом образа.

Это вряд ли; оно вообще в другом пространстве лежит.

[svv]

Вы или ошиблись в этой формуле при наборе:

Maryvsev писал(а):

$L(x,y,z)=(3x, x+2y+z, x-y+4z)$

Или, если не ошиблись, неправильно всё.

Maryvsev писал(а):

$Ker(L)={(o,y,y)}$ то есть базис $<(0,1,1)>$

Это неправильно -- найдите образ этого вектора и убедитесь.

Maryvsev писал(а):

$dimKer=1; dimIm=2$

И это неправильно.

Maryvsev писал(а):

ответ $<(1,0,0),(0,1,0)>$

И это неправильно.

Ранг матрицы оператора равен $3$.

[Maryvsev]

svv в сообщении #586626 писал(а):

Вы или ошиблись в этой формуле при наборе:

Maryvsev писал(а):

$L(x,y,z)=(3x, x+2y+z, x-y+4z)$

Или, если не ошиблись, неправильно всё.

Maryvsev писал(а):

$Ker(L)={(o,y,y)}$ то есть базис $<(0,1,1)>$

Это неправильно -- найдите образ этого вектора и убедитесь.

Maryvsev писал(а):

$dimKer=1; dimIm=2$

И это неправильно.

Maryvsev писал(а):

ответ $<(1,0,0),(0,1,0)>$

И это неправильно.

Ранг матрицы оператора равен $3$.

В наборе формулы я к сожалению не ошиблась. Буду искать ошибку в решении.

[svv]

Ну, наверное, все беды начались с того, что у Вас получилось, что вектор $(0,1,1)$ принадлежит $\operatorname{ker}L$. Но Вы же видите, что не принадлежит:
$\begin{bmatrix}3&0&0\\1&2&1\\1&-1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\\3\end{bmatrix}$, но никак не $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$
(Разумеется, можно было просто подставить $x=0, y=z=1$ в выражение $L(x,y,z)=(3x, x+2y+z, x-y+4z)$ и получить то же самое)

А должен был бы получиться нулевой вектор -- иначе что это за ядро?
$\operatorname{ker}\,L = \{ a\in \mathbb R^3\mid L(a) = 0 \}$

Ранг матрицы оператора равен $3$, т.е. ранг полный -- отсюда всё легко получается.

[Maryvsev]

Теперь вижу что не принадлежит.
Я действую так:
сначала приравниваю к нулю и получаю систему:
$ 3x=0; x+2y+z=0; x-y+4z=0$
откуда
$x=0; 2y+z=0; -y+4x=0$
то есть получается $Ker(L)={(0,0,0)}$ ?

[svv]

Да, правильно. Соответственно, $\dim\ker L =0$.
Только если размерность ядра равна нулю, не ищите в нём базис -- нет у такого ядра базиса (чтоб не подумали, например, что $<(0,0,0)>$ -- это базис).

[apriv]

svv в сообщении #586647 писал(а):

Да, правильно. Соответственно, $\dim\ker L =0$.
Только если размерность ядра равна нулю, не ищите в нём базис -- нет у такого ядра базиса (чтоб не подумали, например, что $<(0,0,0)>$ -- это базис).

Как это нет базиса? У любого векторного пространства есть базис (если мы верим в аксиому выбора), даже у нульмерного.

[svv]

А, да, да, это пустое множество векторов.

[Maryvsev]

svv в сообщении #586647 писал(а):

Да, правильно. Соответственно, $\dim\ker L =0$.
Только если размерность ядра равна нулю, не ищите в нём базис -- нет у такого ядра базиса (чтоб не подумали, например, что $<(0,0,0)>$ -- это базис).

Так спасибо это я поняла, значит $dimIm=3$ Правильно? И все тот же первоначальный вопрос как я найду теперь базис отоьражения?

[svv]

А это любая тройка линейно независимых векторов в $\mathbb R^3$.
Хоть $<(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)>$.
Кстати, если не верится, несложно найти прообразы этих трех векторов. Например, $L(0, -\frac 1 9, \frac 2 9)=(0,0,1)$.

[Maryvsev]

Большое спасибо, вроде понятно. Итак для проверки другой пример:
Дан эндоморфизм $ L: R^3 \to R^3 $ $L(x,y,z)=(x+y, x+2y+z, y+z)$ нужно найти Ker(L) и Im(L).
$Ker(L)={(-y,y,-y)}$ то есть базис $<(-1,1,-1)>$
$dimKer=1$

$dimIm=2$
$<(1,0,0), (0,1,1)>$ - базис отображения.
Правильно?