Найти Ker(L) и Im(L)

[svv]

Всё правильно, кроме первого вектора в базисе образа.
Вектор $(1,0,0)$ не принадлежит образу оператора -- он не является образом никакого вектора.

-- Вт июн 19, 2012 00:31:02 --

Запишите матрицу оператора:
$\begin{bmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{bmatrix}$
Столбцы матрицы -- векторы $(1,1,0)$, $(1,2,1)$, $(0,1,1)$.
Несложно понять, что столбцы матрицы оператора -- это образы базисных векторов из пространства прообраза $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$. Умножьте матрицу на них, и Вы увидите, что их образами будут соответственно первый, второй и третий столбец.

Значит, столбцы матрицы, понимаемые как векторы, принадлежат $\operatorname{im} L$. Все остальные векторы из $\operatorname{im} L$ будут их линейными комбинациями. Но это ещё не базис, потому что эта система векторов может быть линейно зависимой. Но если правильно выбросить "лишние" векторы (например, $(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$), то останется базис.

Ответ: $<(1,1,0),(0,1,1)>$.

[AV_77]

apriv в сообщении #586617 писал(а):

AV_77 в сообщении #586597 писал(а):

Дополните базис ядра до базиса всего пространства. Это дополнение и будет базисом образа.

Это вряд ли; оно вообще в другом пространстве лежит.

Ну да, не базис дополнения, а образ базиса дополнения.

[Maryvsev]

svv в сообщении #586661 писал(а):

Всё правильно, кроме первого вектора в базисе образа.
Вектор $(1,0,0)$ не принадлежит образу оператора -- он не является образом никакого вектора.

-- Вт июн 19, 2012 00:31:02 --

Запишите матрицу оператора:
$\begin{bmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{bmatrix}$
Столбцы матрицы -- векторы $(1,1,0)$, $(1,2,1)$, $(0,1,1)$.
Несложно понять, что столбцы матрицы оператора -- это образы базисных векторов из пространства прообраза $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$. Умножьте матрицу на них, и Вы увидите, что их образами будут соответственно первый, второй и третий столбец.

Значит, столбцы матрицы, понимаемые как векторы, принадлежат $\operatorname{im} L$. Все остальные векторы из $\operatorname{im} L$ будут их линейными комбинациями. Но это ещё не базис, потому что эта система векторов может быть линейно зависимой. Но если правильно выбросить "лишние" векторы (например, $(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$), то останется базис.

Ответ: $<(1,1,0),(0,1,1)>$.

Огромное спасибо!!! супер объяснение!!!