Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[Oleg Zubelevich]

ZARATUSTRA в сообщении #565956 писал(а):

Дело в том, что я себя чувствую неуверенно, если знаю, скажем, только формулы, но сущность темы не понимаю

Хорошо, что Вы это чувствуете, что не понимаете сущность. Понимать начнете на 1-2 курсе. Не все математические конструкции понимаются сразу, некоторые приходится осознавать длительное время в процессе решения большого количества задач и чтения учебников.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #566159 писал(а):

Хорошо, что Вы это чувствуете, что не понимаете сущность. Понимать начнете на 1-2 курсе. Не все математические конструкции понимаются сразу, некоторые приходится осознавать длительное время в процессе решения большого количества задач и чтения учебников.

У кого-то тут в подписи было: In mathematics you don't understand things. You just get used to them. (John von Neumann.)

[Lyosha]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #566216 писал(а):

У кого-то тут в подписи было: In mathematics you don't understand things. You just get used to them. (John von Neumann.)

у него

[Gravist]

ZARATUSTRA в сообщении #566140 писал(а):

Учитель решил, что нам знать, что есть производная, не нужно. Хватит лишь зазубренных формул и их применения.

Вот, уважемые, вам и плоды с тестовых "знаний" ЕГЭ

[ewert]

Gravist в сообщении #567086 писал(а):

Вот, уважемые, вам и плоды с тестовых "знаний" ЕГЭ

Вообще-то такой эффект наблюдался и до ЕГЭ.

[Алексей К.]

ZARATUSTRA,

когда я учился в 8-9 классе, мне почему-то сильно захотелось узнать, что такое "Высшая математика", чем она отличается от нашей (в школе тогда учились 10 лет, и производных в программе не было), смогу ли я её освоить, ежели я уже почти справился с математикой невысшей? Наверное, я тогда задумался о

В. Маяковский писал(а):

У меня растут года,
будет и семнадцать.
Где работать мне тогда,
чем заниматься?

Мне купили книгу "Высшая математика для начинающих" Я.Б.Зельдовича. И я всё понял про производные, и про зачем они нужны.
Это было лет 100 назад. Я не удивляюсь, обнаруживая в книжных магазинах её свежие переиздания.

[ZARATUSTRA]

Спасибо, но я уже разобрался. В журнале Квант нашел неплохую статью. На лето взял Зорич Высшая математика. Почитал - объясняется всё понятно.

[Shtorm]

JMH в сообщении #566061 писал(а):

Очень просто: если мгновенная скорость больше нуля, то функция возрастает, если меньше - то убывает, а если равна нулю, то имеет экстремум (т.е., в свете объяснения ewert'а, это не просто скорость, а скорость в данной точке)....

Если производная равна нулю, то не факт, что это экстремум. Это просто точка - подозрительная на экстремум. Такие точки называют критическими или стационарными. А потом уже дальше исследуем - является эта точка экстремумом или нет.

[Capataz]

Вот как это нужно было бы объяснить для меня.
Дана функция А(х), далее просто А
1. Производная - это тоже функция В(х), далее просто В.
2. Функция В определяет наклон(скорость, угол, тангенс...) функции А на участке дельта х(далее dх). Фактически, это отрезок прямой В, повторяющий график А на участке dx. Т.е. мы ищем прямую В для того чтобы узнать какой наклон имеет график А. Чем меньше dх, тем точнее на этом участке угол наклона прямой В к графику А. При dх стремящемся к 0, прямая В стремится к А.
Функция В называется производной потому, что она производится из функции А. Это её имитация на dx.
Т.о. находя производную в любой точке (по dx), мы узнаём наклон функции А в этой точке, ведь он будет совпадать с В, которую легко найти.
Обозначает нахождение мгновенного значения, т.е. в любое мгновенье(любое х) мы знаем значение наклона(изменения функции). Зная наклон, мы знаем убывает или возрастает функция, насколько быстро меняется значение аргумента(скорость).
18. Вторая производная говорит о том насколько быстро изменяется это изменение(ускорение) и т.д.
PS. Наверное это я для себя рассказывал. Скоро придётся дочке объяснять.

[AKM]

Capataz,

замечание за игнорирование правил набора формул.

Pекомендую ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[arseniiv]

Capataz в сообщении #711355 писал(а):

функция А(х), далее просто А

Функция-то как раз и $A$. $A(x)$ — это её значение в точке $x$. Оно, конечно, тоже может быть функцией, но уже какой-нибудь другой.

[Munin]

arseniiv
Это формализм. Да, можно использовать такие обозначения. Но настаивать на их абсолютности - незачем. Есть предел, за которым формализация языка приносит уже не выгоду, а неудобства.

P. S. В математике и в программировании этот предел проходит очень по-разному. Надо понимать, что язык математики - это не язык программирования. Он не предназначен для разбора и однозначного восприятия программой. Он предназначен для людей. Кстати, язык программирования тоже предназначен для людей, об этом тоже нельзя забывать, но его "разбираемость программой" накладывает на него всё-таки сильные ограничения.

[Capataz]

AKM писал(а):

Capataz,
замечание за игнорирование правил набора формул.
Pекомендую ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Согласен. Виноват, исправлюсь. Спасибо за мягкий намёк. Кто ж думал, что здесь особые правила? Я полагал, что тут как везде, усреднённо. А тут всё строго по законам, как в математике. Изучу мат.часть и попробую всё подправить.

arseniiv, конечно же Вы правы, но некоторые школьники, к сожалению, воспринимают функцию именно так. Согласно названию темы я и использовал(старался) язык школьника. Бывает так, что некоторые преподаватели на этом не акцентируют внимание. Спасибо Вам за поправку.

Munin,

Цитата:

Есть предел, за которым формализация языка приносит уже не выгоду, а неудобства.

Эт точно! Я бы добавил, что в школах нужно объяснять сложный материал на разных языках. Уровень восприятия школьников то разный.

[lena7]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #711438 писал(а):

Функция-то как раз и $A$. $A(x)$ — это её значение в точке $x$.

$A(x)$ синонимично $A$, если понимать $x$ как "слот" для аргумента. В этом смысле $A(x)$ ничем не хуже $A(\,\cdot\,)$ или $A(-)$ (если только $x$ не задействовано для конкретного значения аргумента).

[Shtorm]

Capataz в сообщении #711355 писал(а):

2. Функция В определяет наклон(скорость, угол, тангенс...) функции А на участке дельта х(далее dх).

На мой взгляд, чтобы правильно формировать представление школьников о производной, нужно сразу же говорить не просто "скорость", а "мгновенную скорость". А то есть тут на форуме темы, где авторы путали понятия мгновенная и средняя скорость - в результате, понятие производной как скорости становилось для них весьма загадочным. Особенно когда делили путь на время, а потом брали производную, подставляли в неё время и видели несовпадение результата.