2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите девушке решить задачу.
Сообщение28.12.2005, 18:53 


28/12/05
5
задание: найти собственные числа и векторы данной матрицы:
-3 11 7
0 5 -4
0 1 1
:cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Не понимаю, а что тут решать-то? И что принесёт Вам то, что кто-то решит за Вас это задание? Вам надо составить характерный многочлен, решение которого и будет Вашими собственными значениями. $ P_A (t) = det (A - t * E_3) $, где А это Ваша матрица.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Если Вы покажете Ваше решение, поможем проверить - не поленимся (так что пятерка уже почти в кармане). Но задача, всё же, на то, чтобы Вы проделали теоретически описанную процедуру руками.

P.S. Вы пришли в парвильное место: здесь помогают девушкам. Но и деду с бабкой, и внучке, и Жучке тоже помогают. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 20:58 


28/12/05
5
Помогите разобраться с решением задания.
Половину решила, а дальше ну никак не получается.
Задание такое: найти собственные числа и собственные векторы данной матрицы:
-3 11 7
0 5 -4
0 1 1

Собственные числа я нашла: t=-3 и t = 3


При t=3 получается вот что
(А - Tе) х = 0
-6 11 7 х1
0 2 -4 * х2 =0
0 1 -2 х3


-6 11 7 -6 11 7 -6 11 7
0 2 -4 0 2 -4 0 2 -4
0 1 -2 0 2 -4 0 0 0

ранг = 2
число неизвестных = 3
-6 х1 + 11х2 + 7х3 =0
2х2 - 4х3 = 0

Х(2) =2Х(3)

-6Х1 + 22 Х3 +7Х3 = 0
отсюда Х1=29/6 Х(3)
следовательно для t=3 собственные векторы будут такие х1=29/6 х2=2z х3=z

А ВОТ ДАЛЬШЕ ПРИ t = -3 У МЕНЯ НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА !!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 21:35 


28/12/05
5
возникает один вопрос : при t = -3
получается следующее
0 11 7
0 8 -4
0 1 4
если преобразовать то получается вот что
0 11 7
0 8 -4
0 0 36

ранг равен 2, число неизвестных трём, следовательно число свободных элементов будет равняться 1, но если составлять уравнение тогда
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0
36х3=0

при решение получается, что собственный вектор равен нулю, но этого в данном случае быть не может, в чём ошибка???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Акулина писал(а):
возникает один вопрос : при t = -3
получается следующее
...
ранг равен 2, число неизвестных трём, следовательно число свободных элементов будет равняться 1, но если составлять уравнение тогда
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0
36х3=0

при решение получается, что собственный вектор равен нулю, но этого в данном случае быть не может, в чём ошибка???


Ну почему же? Вы же пишете, что есть одна свободная неизвестная. Две неизвестных Вы определяете из системы, значит, оставшаяся и есть свободная. Как раз она-то и не равна 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 22:49 


28/12/05
5
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0 (**)
36х3=0

из 36х3=0 следует что х3=0, подставляем в (**) и получаем 8х2-4•0=0, следовательно 8х2=0 , а значит и х2 тоже будет равен 0. Как же определить эти 2 свободные переменные?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Акулина писал(а):
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0 (**)
36х3=0

из 36х3=0 следует что х3=0, подставляем в (**) и получаем 8х2-4•0=0, следовательно 8х2=0 , а значит и х2 тоже будет равен 0. Как же определить эти 2 свободные переменные?


Какие "две"? Вы писали об одной. Всего неизвестных три: $x_1$, $x_2$, $x_3$. Из Вашей системы следует, что $x_2=x_3=0$. Какая осталась?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 23:12 


28/12/05
5
Тогда получается, что за х1 мы ,предположим, возьмём z? Следовательно ответ будет таким:
Х1=z
Х2= 0
Х3 =0
Это правильно?
:D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Акулина писал(а):
Х1=z
Х2= 0
Х3 =0
Это правильно?


Правильно. Только добавить, что $z\ne 0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2005, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Приношу извинения за задержу.

Вы все решаете правильно. Собственные числа матрицы - (-3, 3, 3). То есть алгебраическая кратность 3 равна 2. -3 соответсвует собственный вектор (1, 0, 0). 3 соответствует единственный собственный вектор (29,12,6). Он единственный, что означает что геометрическая кратность 3 равна 1. Матрицы у которых есть собственные числа такие, что их геометрическая кратность строго меньше алгебраической называются дефектными.

Рискну порекомендовать Вам книгу Хорн, Джонсон Матричный анализ. Там этот вопрос (и многие другие) хорошо разобран.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group