Помогите девушке решить задачу.

[Акулина]

задание: найти собственные числа и векторы данной матрицы:
-3 11 7
0 5 -4
0 1 1

[Capella]

Не понимаю, а что тут решать-то? И что принесёт Вам то, что кто-то решит за Вас это задание? Вам надо составить характерный многочлен, решение которого и будет Вашими собственными значениями. $ P_A (t) = det (A - t * E_3) $, где А это Ваша матрица.

[незваный гость]

Если Вы покажете Ваше решение, поможем проверить - не поленимся (так что пятерка уже почти в кармане). Но задача, всё же, на то, чтобы Вы проделали теоретически описанную процедуру руками.

P.S. Вы пришли в парвильное место: здесь помогают девушкам. Но и деду с бабкой, и внучке, и Жучке тоже помогают.

[Акулина]

Помогите разобраться с решением задания.
Половину решила, а дальше ну никак не получается.
Задание такое: найти собственные числа и собственные векторы данной матрицы:
-3 11 7
0 5 -4
0 1 1

Собственные числа я нашла: t=-3 и t = 3


При t=3 получается вот что
(А - Tе) х = 0
-6 11 7 х1
0 2 -4 * х2 =0
0 1 -2 х3


-6 11 7 -6 11 7 -6 11 7
0 2 -4 0 2 -4 0 2 -4
0 1 -2 0 2 -4 0 0 0

ранг = 2
число неизвестных = 3
-6 х1 + 11х2 + 7х3 =0
2х2 - 4х3 = 0

Х(2) =2Х(3)

-6Х1 + 22 Х3 +7Х3 = 0
отсюда Х1=29/6 Х(3)
следовательно для t=3 собственные векторы будут такие х1=29/6 х2=2z х3=z

А ВОТ ДАЛЬШЕ ПРИ t = -3 У МЕНЯ НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА !!!

[Акулина]

возникает один вопрос : при t = -3
получается следующее
0 11 7
0 8 -4
0 1 4
если преобразовать то получается вот что
0 11 7
0 8 -4
0 0 36

ранг равен 2, число неизвестных трём, следовательно число свободных элементов будет равняться 1, но если составлять уравнение тогда
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0
36х3=0

при решение получается, что собственный вектор равен нулю, но этого в данном случае быть не может, в чём ошибка???

[Someone]

Акулина писал(а):

возникает один вопрос : при t = -3
получается следующее
...
ранг равен 2, число неизвестных трём, следовательно число свободных элементов будет равняться 1, но если составлять уравнение тогда
11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0
36х3=0

при решение получается, что собственный вектор равен нулю, но этого в данном случае быть не может, в чём ошибка???

Ну почему же? Вы же пишете, что есть одна свободная неизвестная. Две неизвестных Вы определяете из системы, значит, оставшаяся и есть свободная. Как раз она-то и не равна 0.

[Акулина]

11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0 (**)
36х3=0

из 36х3=0 следует что х3=0, подставляем в (**) и получаем 8х2-4•0=0, следовательно 8х2=0 , а значит и х2 тоже будет равен 0. Как же определить эти 2 свободные переменные?

[Someone]

Акулина писал(а):

11Х2 + 7Х3 = 0
8Х2 - 4Х3 =0 (**)
36х3=0

из 36х3=0 следует что х3=0, подставляем в (**) и получаем 8х2-4•0=0, следовательно 8х2=0 , а значит и х2 тоже будет равен 0. Как же определить эти 2 свободные переменные?

Какие "две"? Вы писали об одной. Всего неизвестных три: $x_1$, $x_2$, $x_3$. Из Вашей системы следует, что $x_2=x_3=0$. Какая осталась?

[Акулина]

Тогда получается, что за х1 мы ,предположим, возьмём z? Следовательно ответ будет таким:
Х1=z
Х2= 0
Х3 =0
Это правильно?

[Someone]

Акулина писал(а):

Х1=z
Х2= 0
Х3 =0
Это правильно?

Правильно. Только добавить, что $z\ne 0$.

[незваный гость]

Приношу извинения за задержу.

Вы все решаете правильно. Собственные числа матрицы - (-3, 3, 3). То есть алгебраическая кратность 3 равна 2. -3 соответсвует собственный вектор (1, 0, 0). 3 соответствует единственный собственный вектор (29,12,6). Он единственный, что означает что геометрическая кратность 3 равна 1. Матрицы у которых есть собственные числа такие, что их геометрическая кратность строго меньше алгебраической называются дефектными.

Рискну порекомендовать Вам книгу Хорн, Джонсон Матричный анализ. Там этот вопрос (и многие другие) хорошо разобран.