Доказательство потенциальности.

[Firth]

Доказать что $F=f(r)\cdot R$ потенциально и найти потенциал если $r=|R|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $f$ - дифференцируема.

Вобще я расписал так

$$F=f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\ y\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\ z\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \end{pmatrix}$$

теперь вспоминая условие потенциальности:

$$ P=x\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \qquad Q=y\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \qquad R=z\cdot f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \qquad $$

Тогда если поле потенциально то должно быть условие.

$$\frac{\partial P} {\partial x}=\frac{\partial Q} {\partial y} \qquad \frac{\partial P} {\partial x}=\frac{\partial R} {\partial z} \qquad \frac{\partial R} {\partial z}=\frac{\partial Q} {\partial y}$$

но чето не выходит, где ошибка?

[ex-math]

Переменные перепутаны в частных производных.

[Firth]

Оо точно

$$\frac{\partial P} {\partial y}=\frac{\partial Q} {\partial x} \qquad \frac{\partial P} {\partial z}=\frac{\partial R} {\partial x} \qquad \frac{\partial R} {\partial y}=\frac{\partial Q} {\partial z}$$

$$\frac{\partial P} {\partial y}=\frac{x\cdot \frac{\partial f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{\partial y}\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

$$\frac{\partial Q} {\partial x}=\frac{x\cdot \frac{\partial f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{\partial x}\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

но они не совсем похожи, но некоторое родство уже чувствуестя.

[svv]

Firth, если знаете формулы для ротора и градиента в сферических координатах, работайте в них.

Если же всё-таки хотите в декартовых, то вместо $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ пишите $r$ и пользуйтесь выражениями для производных:
$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac x r$
$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac y r$
$\frac{\partial r}{\partial z}=\frac z r$
Эти формулы один раз для себя проверьте и пользуйтесь ими всю жизнь на здоровье.

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xf(r))=x\frac{\partial}{\partial y}f(r)=x\frac{df}{dr}\frac{\partial r}{\partial y}=x\frac{df}{dr}\frac y r$
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(yf(r))=y\frac{\partial}{\partial x}f(r)=y\frac{df}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}=y\frac{df}{dr}\frac x r$
Совпало...