Изоморфизм групп и задача Кели

[Naatikin]

для $GL_N(K)$ образующими будут элементарные матрицы

[Naatikin]

Sonic86, правильно я понимаю, что в факторгруппе 1 класс рассматривается как 1 элемент?

-- 16.06.2012, 21:20 --

вот такие образующие у $GL_2(Z/3Z)$
$\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&2\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 2&0\\ 0&1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0\\ \end{array} \right)$ как это можно проверить?

-- 16.06.2012, 21:20 --

не могу придумать как сопоставить элементы из симметрической группы и матрицы

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585803 писал(а):

Sonic86, правильно я понимаю, что в факторгруппе 1 класс рассматривается как 1 элемент?

Да (думаю, что Вам полезно перечитать теорию про фактор-группу).

Naatikin в сообщении #585803 писал(а):

вот такие образующие у $GL_2(Z/3Z)$
$\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&2\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 2&0\\ 0&1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0\\ \end{array} \right)$ как это можно проверить?

Не знаю, но надо ли это проверять?

Naatikin в сообщении #585803 писал(а):

не могу придумать как сопоставить элементы из симметрической группы и матрицы

Как Вы думаете - зачем мы выписывали элементы проективного пространства? А затем, что группы на нем действуют. Сопоставлять элементы проще не напрямую (не угадывать $1$ из $24$-х), а через действие на множестве (в нем всего $4$ элемента). Вспомните теорему Кэли о том, что любую группу можно рассматривать как группу перестановок. Ну просто все, ну догадайтесь

[Naatikin]

Sonic86
я пока плохо разобрался, но вот что я понял:
факторгруппа группы матриц и симметрическая группа действуют на векторном пространстве где есть 4 элемента.
с симметрической группой всё понятно - она переставляет элементы.
что касается факторгруппы - там класс из двух элементов ${A, -A}$, я думал, что при перемножении 1 элемента из класса и вектора - вектор принимает вид другого вектора, но вектор $\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right) $ переводится в $\left( \begin{array}{c} 0\\ 2\\ \end{array} \right) $ а такого элемента нет.

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585887 писал(а):

я думал, что при перемножении 1 элемента из класса и вектора - вектор принимает вид другого вектора, но вектор $\binom{0}{1}$ переходит в $\binom{0}{2}$ а такого элемента нет.

Вот поэтому я Вам предлагал явно построить факторпространство $P\mathbb{F}_3^2$. У Богопольского просто все кратко - он выписал представители классов, а сами классы писать долго. Т.е. под $\binom{0}{1}$ следует понимать не вектор, а класс векторов, ему коллинеарных - это $\{\binom{0}{1},\binom{0}{2}\}$. Сразу замечу, что $\binom{0}{2}$ переходит в $\binom{0}{1}$, значит как "матрица" действует на класс? С остальными классами разбираемся так же. Дальше, думаю, поймете

(ну или другой вариант: можно брать представителей классов, действовать на них матрицами и потом переводить полученный вектор в его класс, а класс - в его представитель - так писанины меньше. Тут несложно догадаться, как устроены представители класса по уже данному их списку)

[Naatikin]

коллинеарные вектора - вектора лежащие на одной либо на паралллельных прямых.
полагаю, чтобы получить весь класс необходимо 1 представитель класс умножить на всевозможные элементы из $F_3$, т.е. это будут $\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right) $? мне кажется на ноль умножать нельзя, т.к. получается элемент $\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)$ будет содержаться в каждом классе

-- 17.06.2012, 12:07 --

Sonic86 в сообщении #585890 писал(а):

значит как "матрица" действует на класс?

оставляет прямую на месте

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585900 писал(а):

полагаю, чтобы получить весь класс необходимо 1 представитель класс умножить на всевозможные элементы из $F_3$, т.е. это будут $\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right) $?

Да.

Naatikin в сообщении #585900 писал(а):

мне кажется на ноль умножать нельзя, т.к. получается элемент $\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)$ будет содержаться в каждом классе

Да, на нуль не умножаем.

Naatikin в сообщении #585900 писал(а):

оставляет прямую на месте

Да Действие матрицы на прочие классы вычисляете аналогично.

[Naatikin]

ещё вопрос по доказательству:
чтобы показать изморфизм достаточно показать одинаковую структуру группы - это одинаковое количество элементов, наличие единичного элемента и идентичность операций на множестве векторов?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585906 писал(а):

чтобы показать изморфизм достаточно показать одинаковую структуру группы - это одинаковое количество элементов, наличие единичного элемента и идентичность операций на множестве векторов?

Да, но я бы предпочел доказать, что в проективной группе матриц есть несколько (очень мало) элементов, порождающих всю группу перестановок из 4-х элементов.

[Naatikin]

не совсем понимаю, что значит

Sonic86 в сообщении #585922 писал(а):

элементов, порождающих всю группу перестановок

для группы матриц порождающие элементы - -элементарные матрицы
для подстановок порождающие элементы - циклы

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585930 писал(а):

для группы матриц порождающие элементы - -элементарные матрицы
для подстановок порождающие элементы - циклы

Вот значит выбрать в качестве претендентов элементарные матрицы, посмотреть, как они действуют на $P\mathbb{F}_3^2$. Например, если какая-то матрица действует как $(1234)$ (здесь $1,2,3,4$ - это номера векторов), то значит группа матриц уже содержит в себе подгруппу $S_4$, порождаемую элементом $(1234)$.

[Naatikin]

почему (1234) является порождающим элементом?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585947 писал(а):

почему (1234) является порождающим элементом?

Не, он им, конечно же, не является (т.е. $(1234)$ не порождает $S_4$, но порождает $\langle(1234)\rangle\leqslant S_4$) это я для примера взял. Их надо взять там 2-3 штуки, чтобы они $S_4$ порождали.

[Naatikin]

не получилось у меня найти порождающие элементы, поэтому я решил в лоб сопоставить 24 элемента(

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #586014 писал(а):

не получилось у меня найти порождающие элементы, поэтому я решил в лоб сопоставить 24 элемента(

Ну ёперный театр Найдите сначала действия 3-4-х матриц и запишите их здесь как перестановки.
Какую подгруппу порождают в $S_4$ элементы $(12),(13),(14)$?