A^4 = A^2

[DTF]

Добрый вечер.
Прошу прощения за столь дикий tl;dr

Есть вот такая задача:

Для матрицы $A$ известно, что $A^4 = A^2$. Какие у нее могут быть характеристические корни?

Не пойму, как толком и до конца решить эту задачу.

Мои потуги:
Рассмотрим матрицу $B = A^2$. Для нее выполняется $B = B^2$.
Т.е. $B$ - это либо нулевая матрица, либо диагональная, у которой на диагонали $\pm 1$ или $0$.

Т.е. если применить оператор $B$ к вектору, то он либо не изменится (случай $B = E$), либо занулится ($B = 0$), либо будет отражен через несколько плоскостей, либо будет куда-то спроектирован, либо все это одновременно (разные действия будут применены к разным координатам вектора в зависимости от значения соответствующего элемента на диагонали).

Далее, назовем изменением матрицы одновременную перестановку $i$-го и $j$-го столбцов и $i$-й и $j$-й строк.

Интуиция подсказывает мне (но я не понимаю, как это формально доказать. мб это вообще неверно?), что путем изменений матрицы А ее можно привести к клеточно-диагональному виду, в котором будут клетки размера $1\times 1$ и $2\times 2$.

В клетках $1\times 1$ будут записаны либо $0$, либо $\pm 1$, а клетки $2\times 2$ будут иметь вид $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Т.е. А либо не меняет координату вектора, либо умножает её на -1, либо поворачивает вектор на 90 градусов в некоторых плоскостях.

Действительными собственными значениями будут, получается, 0, 1 и -1.

Я правильно рассуждаю?
Если да, то как обосновать, что из описанного мной вида В следует описанный мной вид А? А может есть более простое и понятное объяснение?

[ex-math]

Если $x$ -- собственный вектор $A$ с собственным значением $\lambda$, то что будет следовать из Вашего равенства, если умножить обе его части на $x$?

[DTF]

ex-math в сообщении #585812 писал(а):

Если $x$ -- собственный вектор $A$ с собственным значением $\lambda$, то что будет следовать из Вашего равенства, если умножить обе его части на $x$?

Блин, как все, оказывается, просто....
А задача выглядела такой ужасной...


Спасибо!!!