Добрый вечер.
Прошу прощения за столь дикий tl;dr
Есть вот такая задача:
Для матрицы

известно, что

. Какие у нее могут быть характеристические корни?
Не пойму, как толком и до конца решить эту задачу.
Мои потуги:
Рассмотрим матрицу

. Для нее выполняется

.
Т.е.

- это либо нулевая матрица, либо диагональная, у которой на диагонали

или

.
Т.е. если применить оператор

к вектору, то он либо не изменится (случай

), либо занулится (

), либо будет отражен через несколько плоскостей, либо будет куда-то спроектирован, либо все это одновременно (разные действия будут применены к разным координатам вектора в зависимости от значения соответствующего элемента на диагонали).
Далее, назовем изменением матрицы одновременную перестановку

-го и

-го столбцов и

-й и

-й строк.
Интуиция подсказывает мне (но я не понимаю, как это формально доказать. мб это вообще неверно?), что путем изменений матрицы А ее можно привести к клеточно-диагональному виду, в котором будут клетки размера

и

.
В клетках

будут записаны либо

, либо

, а клетки

будут иметь вид

.
Т.е. А либо не меняет координату вектора, либо умножает её на -1, либо поворачивает вектор на 90 градусов в некоторых плоскостях.
Действительными собственными значениями будут, получается, 0, 1 и -1.
Я правильно рассуждаю?
Если да, то как обосновать, что из описанного мной вида В следует описанный мной вид А? А может есть более простое и понятное объяснение?