2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение14.06.2012, 22:09 


14/06/12
4
Здравствуйте!
Задание: Пусть $\cdot$ - ассоциативная бинарная операция на множестве $M$. Доказать, что $(M, \cdot)$ - группа, если существует отображение $f$ множества $M$ на себя такое, что
а) $f^2$ - тождественное отображение $M$ на $M$ ($f^2(m)=f(f(m)), m \in M$);
б) $\forall x,y \in M: f(xy)=f(y)f(x)$;
в) $(\forall x \in M) (\exists e \in M): f(x)x=e $ и $eM = M$.

Решение:
Замкнутость мне доказать удалось.
Следующим шагом стало доказательство существования единичного элемента, здесь и произошла загвоздка: выражение $eM = M$ не означает, что $e$ явлется единичным элементом, оно говорит лишь о том, что $(\forall x \in M)(\exists y \in M): x=ey$. Таким образом, для того, чтобы $e$ был единичным элементом. необходимо доказать, что $ex=xe=x$, то есть для начала доказать, что $ey=e(ey)=(ey)e$. (данный ход решения я уточнял у преподавателя, он сказал, что направление верно). Доказать, что $ey=eey$ у меня получилось, а что делать с доказательством $ey=eye$ не могу понять. Исписал листов десять А4 с различными преобразованиями и всё впустую. Собственно в доказательстве этого вопроса и прошу у вас помощи.

PS. И, если честно, не совсем понятно куда двигаться дальше, после того как будет доказано $ey=eey=eye$. Какими преобразованиями показать, что $x=y$?.. или нужно мыслить в другую сторону?

PPS.
"По пути" было доказано, что $f(e)=e$ (а значит и $e=f(e)e, e=ee, ef(e)=e$ итп), что бывает очень полезно использовать в преобразованиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят? Для каждого x существует вот такая e (может быть, у каждого своя, а что она у всех общая - надо доказывать отдельно)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 10:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
ИСН в сообщении #585241 писал(а):
У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят?
Я попробовал решить с таким порядком - у меня не вышло пока, но вроде порядок правильный (иначе условие $eM=M$ было бы лишним). Скорее всего условие правильное :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 13:21 


14/06/12
4
ИСН в сообщении #585241 писал(а):
У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят? Для каждого x существует вот такая e (может быть, у каждого своя, а что она у всех общая - надо доказывать отдельно)?

Извините, это моя ошибка. В оригинале условие выглядит следующим образом
$(\exists e \in M) : f(x)x=e (\forall x \in M) $ и $eM=M$

PS. Нашел откуда взята эта задача: Белоногов В.А. Задачник по теории групп. Задача 1.12

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 19:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
С таким условием все просто. Надо только заметить, что для любого $x$ существует такой $y$, что $x = ey$. Тогда из $ee = e$ получаем $ex = eey = ey = x$. В результате $M$ содержит левую единицу и каждый ее элемент имеет левый обратный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 20:14 


14/06/12
4
AV_77 в сообщении #585496 писал(а):
С таким условием все просто. Надо только заметить, что для любого $x$ существует такой $y$, что $x = ey$. Тогда из $ee = e$ получаем $ex = eey = ey = x$. В результате $M$ содержит левую единицу и каждый ее элемент имеет левый обратный.

Согласен) это у меня уже и написано в первом посте:
cool_to_hate в сообщении #585136 писал(а):
Доказать, что $ey=eey$ у меня получилось, а что делать с доказательством $ey=eye$ не могу понять

Проблема возникает при доказательстве правого единичного элемента.
Или я не полностью понял ваш ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение15.06.2012, 21:17 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Дык вроде в любом учебнике по теории групп есть доказательство, что из существования левой единицы и левого обратного следует существование двусторонней единицы и двусторонних обратных. Там всего пара строчек.
А в вашем случае все еще проще. Из $f(x)x = e$ следует, что $x f(x) = f(f(x))f(x) = e$. Теперь $xe = xf(x)x = ex = x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.
Сообщение16.06.2012, 14:28 


14/06/12
4
AV_77 в сообщении #585537 писал(а):
Дык вроде в любом учебнике по теории групп есть доказательство, что из существования левой единицы и левого обратного следует существование двусторонней единицы и двусторонних обратных. Там всего пара строчек.
А в вашем случае все еще проще. Из $f(x)x = e$ следует, что $x f(x) = f(f(x))f(x) = e$. Теперь $xe = xf(x)x = ex = x$.


Точно! Это же так элементарно. Причем при доказательстве $f(e)=e$ я так и представлял $x$ как $f(f(x))$, а в этом случае почему то не догадался.
Здорово. Спасибо большое. Топик можно закрывать.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group