Алгебра и теория чисел. Доказать, что множество - группа.

[cool_to_hate]

Здравствуйте!
Задание: Пусть $\cdot$ - ассоциативная бинарная операция на множестве $M$. Доказать, что $(M, \cdot)$ - группа, если существует отображение $f$ множества $M$ на себя такое, что
а) $f^2$ - тождественное отображение $M$ на $M$ ($f^2(m)=f(f(m)), m \in M$);
б) $\forall x,y \in M: f(xy)=f(y)f(x)$;
в) $(\forall x \in M) (\exists e \in M): f(x)x=e $ и $eM = M$.

Решение:
Замкнутость мне доказать удалось.
Следующим шагом стало доказательство существования единичного элемента, здесь и произошла загвоздка: выражение $eM = M$ не означает, что $e$ явлется единичным элементом, оно говорит лишь о том, что $(\forall x \in M)(\exists y \in M): x=ey$. Таким образом, для того, чтобы $e$ был единичным элементом. необходимо доказать, что $ex=xe=x$, то есть для начала доказать, что $ey=e(ey)=(ey)e$. (данный ход решения я уточнял у преподавателя, он сказал, что направление верно). Доказать, что $ey=eey$ у меня получилось, а что делать с доказательством $ey=eye$ не могу понять. Исписал листов десять А4 с различными преобразованиями и всё впустую. Собственно в доказательстве этого вопроса и прошу у вас помощи.

PS. И, если честно, не совсем понятно куда двигаться дальше, после того как будет доказано $ey=eey=eye$. Какими преобразованиями показать, что $x=y$?.. или нужно мыслить в другую сторону?

PPS.
"По пути" было доказано, что $f(e)=e$ (а значит и $e=f(e)e, e=ee, ef(e)=e$ итп), что бывает очень полезно использовать в преобразованиях.

[ИСН]

У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят? Для каждого x существует вот такая e (может быть, у каждого своя, а что она у всех общая - надо доказывать отдельно)?

[Sonic86]

ИСН в сообщении #585241 писал(а):

У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят?

Я попробовал решить с таким порядком - у меня не вышло пока, но вроде порядок правильный (иначе условие $eM=M$ было бы лишним). Скорее всего условие правильное

[cool_to_hate]

ИСН в сообщении #585241 писал(а):

У Вас в третьем пункте условия в каком порядке кванторы стоят? Для каждого x существует вот такая e (может быть, у каждого своя, а что она у всех общая - надо доказывать отдельно)?

Извините, это моя ошибка. В оригинале условие выглядит следующим образом
$(\exists e \in M) : f(x)x=e (\forall x \in M) $ и $eM=M$

PS. Нашел откуда взята эта задача: Белоногов В.А. Задачник по теории групп. Задача 1.12

[AV_77]

С таким условием все просто. Надо только заметить, что для любого $x$ существует такой $y$, что $x = ey$. Тогда из $ee = e$ получаем $ex = eey = ey = x$. В результате $M$ содержит левую единицу и каждый ее элемент имеет левый обратный.

[cool_to_hate]

AV_77 в сообщении #585496 писал(а):

С таким условием все просто. Надо только заметить, что для любого $x$ существует такой $y$, что $x = ey$. Тогда из $ee = e$ получаем $ex = eey = ey = x$. В результате $M$ содержит левую единицу и каждый ее элемент имеет левый обратный.

Согласен) это у меня уже и написано в первом посте:

cool_to_hate в сообщении #585136 писал(а):

Доказать, что $ey=eey$ у меня получилось, а что делать с доказательством $ey=eye$ не могу понять

Проблема возникает при доказательстве правого единичного элемента.
Или я не полностью понял ваш ответ?

[AV_77]

Дык вроде в любом учебнике по теории групп есть доказательство, что из существования левой единицы и левого обратного следует существование двусторонней единицы и двусторонних обратных. Там всего пара строчек.
А в вашем случае все еще проще. Из $f(x)x = e$ следует, что $x f(x) = f(f(x))f(x) = e$. Теперь $xe = xf(x)x = ex = x$.

[cool_to_hate]

AV_77 в сообщении #585537 писал(а):

Дык вроде в любом учебнике по теории групп есть доказательство, что из существования левой единицы и левого обратного следует существование двусторонней единицы и двусторонних обратных. Там всего пара строчек.
А в вашем случае все еще проще. Из $f(x)x = e$ следует, что $x f(x) = f(f(x))f(x) = e$. Теперь $xe = xf(x)x = ex = x$.

Точно! Это же так элементарно. Причем при доказательстве $f(e)=e$ я так и представлял $x$ как $f(f(x))$, а в этом случае почему то не догадался.
Здорово. Спасибо большое. Топик можно закрывать.)