предел синуса факториала

[DTF]

Подскажите пжл, как вычислить предел $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin{n!}$

Точнее, не могу понять, как избавиться от синуса факториала...
Совсем ведь не очевидно, что он не принимает бесконечно близких к нулю значений....

[Shtorm]

DTF в сообщении #585454 писал(а):

Подскажите пжл, как вычислить предел $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin{n!}$

Точнее, не могу понять, как избавиться от синуса факториала...
Совсем ведь не очевидно, что он не принимает бесконечно близких к нулю значений....

А может быть сразу написать, что поскольку $\lim\limits_{n \to \infty} \sin{n!}$ не существует, а $n$ может принимать только положительные значения, то и исходный предел не существует.

[ИСН]

Там точно нигде не фигурировало никаких больше буковок?

[DTF]

Shtorm в сообщении #585460 писал(а):

А может быть сразу написать, что поскольку $\lim\limits_{n \to \infty} \sin{n!}$ не существует

Если знать, как доказать, что такой предел не существует, то можно и написать...

ИСН в сообщении #585461 писал(а):

Там точно нигде не фигурировало никаких больше буковок?

нет

[ИСН]

Тгода нерешаемо. То есть понятно, что предел не существует, но доказательство опирается на какие-то довольно глубокие теоретико-числовые свойства $\pi$. Одной трансцендентности мало.

[DTF]

ИСН в сообщении #585473 писал(а):

Тгода нерешаемо

:(

Вообще-то это задача №9 вот отсюда.

Я, к сожалению, на эти курсы не ходил, не знаю, как задачу решить...
Но видимо они её как-то решали...

[Shtorm]

DTF в сообщении #585469 писал(а):

Если знать, как доказать, что такой предел не существует, то можно и написать...

Ну вот например в книге Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление" том 1. есть такой пример: выражение $\lim(1+\cos(x))$ не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2.

И тут можно написать, что синус не стремится ни к какому пределу, а колеблется между чем-то и чем-то (подумайте между чем и чем)

[nnosipov]

DTF в сообщении #585477 писал(а):

Вообще-то это задача №9 вот отсюда.

Там явно опечатка.

[DTF]

Shtorm в сообщении #585481 писал(а):

Ну вот например в книге Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление" том 1. есть такой пример: выражение $\lim(1+\cos(x))$ не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2

Не подскажите год издания и страницу, на которой разбирается этот пример?

-- 15.06.2012, 19:15 --

nnosipov в сообщении #585483 писал(а):

Там явно опечатка.

С чего Вы так решили?

[Shtorm]

Издание 13, Москва "Наука", 1985 г. стр.134 (сверху). Но насколько я помню, этот пример приводился в любом издании Пискунова. Это пример иллюстрирующий, что правило Лопиталя применимо не всегда, даже в случае бесконечность делить на бесконечность.

[nnosipov]

DTF в сообщении #585484 писал(а):

С чего Вы так решили?

Потому что все остальные задачи тривиальны, а эта --- трудная проблема. И никакой Пискунов здесь Вам не поможет.

-- Пт июн 15, 2012 23:46:07 --

Shtorm в сообщении #585481 писал(а):

И тут можно написать, что синус не стремится ни к какому пределу, а колеблется между чем-то и чем-то (подумайте между чем и чем)

Не путайте предел функции с пределом последовательности.

[DTF]

Shtorm в сообщении #585489 писал(а):

Издание 13, Москва "Наука", 1985 г. стр.134 (сверху). Но насколько я помню, этот пример приводился в любом издании Пискунова. Это пример иллюстрирующий, что правило Лопиталя применимо не всегда, даже в случае бесконечность делить на бесконечность.

Нашел, но да, этот пример нам не помогает.

Ведь из того, что $\sin(x)$ не сходится, не следует, что нет такой последовательности $x_n$, что $\sin(x_n)$ сходится.

Как раз нужно доказать, что факториал не является такой "волшебной" последовательностью

[Shtorm]

Цитата:

Как раз нужно доказать, что факториал не является такой "волшебной" последовательностью

Ну, а если попробывать это сделать? Выразить значения факториала через $\pi$, потом выразить формулу члена последовательности и .....

-- Пт июн 15, 2012 20:15:09 --

...и посмотреть колебания синуса будут сходится, расходится, колебаться, или оставаться на одном уровне. Пятого не дано

[DTF]

Shtorm в сообщении #585505 писал(а):

Выразить значения факториала через $\pi$

А как это сделать? мне на ум приходит только формула Стирлинга, но она тут явно не в тему...

[Shtorm]

А просто берём и тупо вычисляем $ \sin{n!}$. Я проверил вплоть до $n=18$. Видно, что синус осциллирует, то есть колеблется - а следовательно предела не существует.