Изоморфизм групп и задача Кели

[Naatikin]

Задача: Доказать, что $GL_{2}(Z/3Z)$ изоморфна $S_{4}$.
Вопрос в том правильно ли сказать, что по теореме Кели они будут изоморфны?

-- 14.06.2012, 23:39 --

Пытался по другому решить - выписал все возможные матрицы - их оказалось 50 штук. Нормальной подгруппой являются две матрицы $E,-E$. Мб я факторгруппу неправильно строил но, получились те же 50 элементов, а должно быть 24. Где ошибка?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585140 писал(а):

Пытался по другому решить - выписал все возможные матрицы - их оказалось 50 штук.

Не $50$, а $48$, т.е. где-то ошиблись На самом деле мощность группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ легко считается из соображений линейной зависимости столбцов - попробуйте (если что, формула есть в книжках).
И далее - $48=2\cdot 24$, значит надо брать для изоморфизма не $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$, а $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z}_p)$.
Изоморфизм можно установить, рассматривая действие $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z}_p)$ на (соответствующем) проективном пространстве (есть в Богопольском Введение в теорию групп стр. 30) - нужно найти сначала это пространство, посмотреть сколько там элементов и посмотреть, как на нем действует группа.

Быть может как-то можно проще через теорему Силова? Групп порядка $24$ многовато...

[Naatikin]

в книге Богопольского написана специальная группа, а у меня общая
да матрицы в программе считал и не учёл повторения элементов)

-- 15.06.2012, 10:29 --

и ещё вопрос как может быть изоморфизм с разным количеством элементов
в задаче забыл указать, что факторгруппа $GL_2(z/3z)$ по её центру.

[ИСН]

Naatikin в сообщении #585231 писал(а):

и ещё вопрос как может быть изоморфизм с разным количеством элементов

никак

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585231 писал(а):

в задаче забыл указать, что факторгруппа $GL_2(z/3z)$ по её центру.

Ага, это как раз $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z}_p)$ (называется она проективная линейная группа).

Naatikin в сообщении #585231 писал(а):

в книге Богопольского написана специальная группа, а у меня общая

Не, ну принцип-то тот же (думаю, попытаться стоит)

Naatikin в сообщении #585231 писал(а):

да матрицы в программе считал и не учёл повторения элементов)

Вы все-таки попробуйте формулу выписать - почувствуете себя сильнее компа

Naatikin в сообщении #585231 писал(а):

и ещё вопрос как может быть изоморфизм с разным количеством элементов

никак, может быть только гомоморфизм (неинъективный).

[Naatikin]

Sonic86
на стр. 30 книги Богопольского - есть формула для $PSL$, полагаю что применять её для $PGL$ можно, если умножить число элементов на 2, т.к. не учитываются отрицательные элементы.
дальше в доказательстве говорится, что $V$ векторное простанство столбцов высоты 2, над $F_5$. Какой вид имеют эти вектора?

-- 15.06.2012, 12:59 --

Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп - стр. 67: формула для нахождения числа элементов общей линейной группы(в моем случае 48)

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585273 писал(а):

дальше в доказательстве говорится, что $V$ векторное простанство столбцов высоты 2, над $F_5$. Какой вид имеют эти вектора?

В том-то и дело, что у Вас не $\mathbb{F}_5$ Догадайтесь, что именно.
Во-вторых, там не просто вектора, а вектора проективного пространства.
Думайте: где действуют обычные матричные группы (надо полем)? На обычных $n$-мерных пространствах (которые над чем?). Тогда где действуют проективные матричные группы?

Naatikin в сообщении #585273 писал(а):

на стр. 30 книги Богопольского - есть формула для $PSL$, полагаю что применять её для $PGL$ можно, если умножить число элементов на 2, т.к. не учитываются отрицательные элементы.

ну грубо говоря может и так

[Naatikin]

Sonic86 в сообщении #585325 писал(а):

Догадайтесь, что именно.

в моем случае $F_3$, только с проективным пространством я не знаком. где это найти можно?

-- 15.06.2012, 14:20 --

Sonic86 в сообщении #585325 писал(а):

Думайте: где действуют обычные матричные группы (надо полем)? На обычных -мерных пространствах (которые над чем?). Тогда где действуют проективные матричные группы?

не совсем понял, что Вы имеете в виду - первое что приходит в голову - кольца.

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585330 писал(а):

в моем случае $F_3$, только с проективным пространством я не знаком. где это найти можно?

О, тогда немного фигово - проективная геометрия вещь довольно развитая + сама по себе. Можно без нее, но, быть может, доказательство покажется абстрактным... По проективной геометрии книг много - есть Харстхорн, есть Ефимов, есть, на худой конец, Певзнер.
Можете прочитать все доказательство в Богопольском, хотя боюсь там слишком кратко.
В Википедии литература есть.
Если кратко, то проективное пространство - это фактор-пространство исходного пространства по отношению коллинеарности (или пропорциональности). Т.е. отождествляем все точки вида $k(x_1,\ldots,x_n)$ для $k \in K$, где $K$ - данное поле (если $K=\mathbb{R}$, то получаем обычные $n$-мерные проективные геометрии, у нас же $K=\mathbb{Z}_p$).
Столбцы размера $2$ над $\mathbb{Z}_3$ - это $\mathbb{Z}_3^2$, кстати.

Naatikin в сообщении #585330 писал(а):

не совсем понял, что Вы имеете в виду - первое что приходит в голову - кольца.

Ну так же - Вы просто не знаете. Если матричная группа $\operatorname{GL}_n(K)$ действует на $K^n$, то ее проективная матричная группа $\operatorname{PGL}_n(K)$ действует на проективном пространстве $PK^n$ (т.е. классы действуют на классах. Ведь класс матриц $kA,k\in K$ переводит вектор $x$ в класс коллинеарных векторов $k(Ax)$)

-- Пт июн 15, 2012 14:05:13 --

Вам на самом деле надо просто сначала выписать все элементы $P\mathbb{F}_3^2$ - их очень мало.

[Naatikin]

эту задачу только с помощью проективной геометрии решить можно?

элементы из $PF^2_3$ это $\left( \begin{array}{cc}  0\\1 \\ \end{array} \right)б\left( \begin{array}{cc}  1\\0\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc}  1\\1 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc}  1\\2 \\ \end{array} \right) $ ?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585700 писал(а):

элементы из $PF^2_3$ это $\left( \begin{array}{cc}  0\\1 \\ \end{array} \right)б\left( \begin{array}{cc}  1\\0\\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc}  1\\1 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc}  1\\2 \\ \end{array} \right) $ ?

Да Надеюсь, понятно, почему так. Сколько их? Какова их группа перестановок?

(Оффтоп)

какие-то неведомые квадратики в формулах

Naatikin в сообщении #585700 писал(а):

эту задачу только с помощью проективной геометрии решить можно?

Конечно нет Можно тупо выписать 24 элемента той группы, это группы и установить изоморфизм. Можно рискнуть нарисовать граф Кэли (для $S_4$ кстати он уже есть тут)
Можно попробовать записать представление для обеих групп и преобразовать их друг в друга... В конце концов представление симметрической группы тоже есть.
Если серьезно - может надо как-то попытаться через теорему Силова или какие-нибудь централизаторы, нормализаторы, факторы или порядки элементов (т.е. задать неявно классификацию групп порядка $24$ и показать, что обе группы удовлетворяют условиям, которым удовлетворяет только $S_4$, но это надо угадывать, если не знаешь), либо явно производить классификацию - это тоже довольно муторно.
Вот сколько, например, некоммутативных групп порядка $24$? В прошлой задаче была группа $S_3$, а групп порядка $6$ было всего $2$ - там было просто. А так их много наверное...
Т.е. если есть способ проще, то он все равно сложный и я его точно явно не знаю

[Naatikin]

Sonic86 в сообщении #585706 писал(а):

Надеюсь, понятно, почему так. Сколько их? Какова их группа перестановок?

нет не понятно - я сделал по аналогии с доказательством в книге, только там для поля $F_5$, написано,эти вектора это прямые, проходящие через $0,0$.

я думаю надо остановиться на сравнении 24 элементов - ведь я правильно понимаю, что:
если я каждой матрице сопоставлю перестановку и покажу что , при операции умножения всё сохраняется, то это будет изоморфизм?

проблема только в том, что я плохо составил факторгруппу. Я делал следующее: нашёл центр - это скалярные матриц (E, -E), так как центр является нормальной подгруппой, то можно составить например все левые смежные класы и это будет факторгруппа. верно?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585720 писал(а):

нет не понятно - я сделал по аналогии с доказательством в книге, только там для поля $F_5$, написано,эти вектора это прямые, проходящие через $0,0$.

Тогда стройте $P\mathbb{F}_3^2$ явно - выпишите все ненулевые вектора $\mathbb{F}_3^2$ (их немного) и постройте классы по отношению коллинеарности векторов.

Naatikin в сообщении #585720 писал(а):

я думаю надо остановиться на сравнении 24 элементов - ведь я правильно понимаю, что:
если я каждой матрице сопоставлю перестановку и покажу что , при операции умножения всё сохраняется, то это будет изоморфизм?

Да Кстати, необязательно устанавливать соответствие между всеми элементами - вспомните про порождающие множества. Каким множеством порождается $S_4$?

Naatikin в сообщении #585720 писал(а):

проблема только в том, что я плохо составил факторгруппу. Я делал следующее: нашёл центр - это скалярные матриц (E, -E), так как центр является нормальной подгруппой, то можно составить например все левые смежные класы и это будет факторгруппа. верно?

Да.

[Naatikin]

Sonic86 в сообщении #585723 писал(а):

Да Кстати, необязательно устанавливать соответствие между всеми элементами - вспомните про порождающие множества. Каким множеством порождается ?

Вы про образующие группы?

-- 16.06.2012, 15:12 --

Sonic86 в сообщении #585723 писал(а):

проблема только в том, что я плохо составил факторгруппу. Я делал следующее: нашёл центр - это скалярные матриц (E, -E), так как центр является нормальной подгруппой, то можно составить например все левые смежные класы и это будет факторгруппа. верно?Да.

вот. значит я 48 элементов из $GL_2(Z)$ должен умножить на $E$ и на $-E$слева. По идее 96 элементов должно сократиться до 24? но как они сократяться?

[Sonic86]

Naatikin в сообщении #585737 писал(а):

Вы про образующие группы?

Да.

Naatikin в сообщении #585737 писал(а):

вот. значит я 48 элементов из $GL_2(Z)$ должен умножить на $E$ и на $-E$слева. По идее 96 элементов должно сократиться до 24? но как они сократяться?

Нет, Вы должны $48$ элементов сгруппировать в $24$ класса по $2$ элемента в каждом классе. Перечитайте, что такое фактор-группа.