2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 13:22 
Заморожен


10/10/11
109
Что не так в решении?

1. Докажите, что любое число рублей, большее семи, можно разменять 3 и 5 рублями.

Решение:
Пусть $3 - a_1, 5 - a_2$. 3 рублями можно разменять каждое 3 число. Нам остаётся доказать, что мы можем разменять сумму типа $3\cdot{n}+1$ и $3\cdot{n}+2$. Найдём связь между этими требованиями и $a_1, a_2$. Получаются формулы:
$a_1\cdot n - (a_1\cdot(n-2)+a_2)=1$
$a_1\cdot n-(a_1\cdot(n-4)+2\cdot a_2)=2$
Пусть $T_x = 3\cdot{n}$, тогда $T_{x-1} = a_1\cdot(n-2)+a_2$, $T_{x-2}= a_1\cdot(n-4)+2\cdot a_2$
У каждого $T_x, T_{x-1}, T_{x-2}$ период $3$, что и покрывает все числа.

2. Для любого натурального $k$ докажите неравенство $2^k > k$.
Решение:
$(1+1)_1...(1+1)_k > 1_1+...1_k$
3.Четыре одинаковые банки наполнены красками на три четверти. Цвета всех красок различны. Имеется возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другу. Можно ли во всех банках сделать одинаковую смесь?(Другой посуды нет, выливать краску нельзя).
Решение:
Только на словах знаю как объяснить. Разделим четыре банки на две группы по 2 банки.
Первая группа: из первой банки перельем в другую банку, а затем из второй в первую. Смесь в них будет одинаковая.
Вторая группа: аналогично.
Теперь из первой группы проделаем аналогичную операцию с банкой из второй группы. С оставшимися 2 банками проделаем аналогичную операцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 13:29 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Простите, но первая слишком усложнена, а что у вас написано во второй и третьей, я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 13:32 
Заморожен


10/10/11
109
Nemiroff в сообщении #584889 писал(а):
Простите, но первая слишком усложнена, а что у вас написано во второй и третьей, я не понял.

Ну я пока только учусь доказывать, ибо с этим совсем туго.
Во второй идея в том, что слева единиц больше, чем справа.
А третья по мотивам этой задачи, которая довольна известная:

Есть два одинаковых стакана, в которые налито поровну: в один — молоко, в другой — кофе. Из первого стакана переливают ложку молока в стакан с кофе. Потом размешивают, и из второго стакана обратно в первый переливают ложку кофе с молоком. Чего теперь больше: молока в кофе или кофе в молоке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 13:36 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Ну в первой можно доказать, что 8, 9 и 10 можно получить. Далее вроде бы очевидно.
Вторую хоть даже по индукции, там просто совсем.

Ну третья да, что-то такое, я просто не понял ваше решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 13:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ZARATUSTRA в сообщении #584891 писал(а):
Во второй идея в том, что слева единиц больше, чем справа.

Не нужно никаких идей -- доказывайте тупо по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:17 


04/09/11
149
Во второй самый простой (как мне кажется) вариант - метод мат. индукции.
1) $k=1 \rightarrow 2^{1}>1$
2) Предположим, что неравенство верно при $k=n : 2^{n}>n$
3) Докажите, что и при k = n + 1 неравенство выполняется.
Этот вариант в каком-то смысле тоже основан на том, что слева единиц больше, чем справа. Только строго это доказывает.

В первой мне вариант Nemiroff'а очень нравится. Я бы так решал: рассмотрим натуральные, большие трёх. Они представимы в одном из трёх видов:
$n = 3k$ - можно разменять только тройками
$n = 3k + 1$
$n = 3k + 2$
Если Вы докажете, что последние два числа можно представить в виде 10+3l или 8 + 3l соответственно, то и эти числа тоже можно будет разменять так, как нужно.

Третью, если честно, не очень понял. "Одинаковая смесь" - то есть поровну красок разного цвета или как?

P.S. Если задача о кофе с молоком известная, расскажите, пожалуйста решение - я её раньше не встречал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ZARATUSTRA в сообщении #584886 писал(а):
Первая группа: из первой банки перельем в другую банку, а затем из второй в первую. Смесь в них будет одинаковая.

Не будет. Если концентрация "своего" цвета в каждой банке больше, чем "чужого", то так оно и будет оставаться после каждого переливания. Кроме случая, когда одну из банок удастся опустошить полностью. Поэтому попарными переливаниями ничего не добьёшься -- надо задействовать все банки сразу.

Например, так. Заполнить доверху первую банку из второй, а четвёртую -- из третьей. Теперь вторая и третьи банки заполнены наполовину, поэтому их цвета можно выровнять. Равенство сохранится, если теперь отлить из первой банки по четверти во вторую и в третью, и из четвёртой -- тоже. После этого можно будет выровнять содержимое первой и четвёртой банок. Дальше -- аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:23 
Заморожен


10/10/11
109
Asker Tasker в сообщении #584912 писал(а):
Во второй самый простой (как мне кажется) вариант - метод мат. индукции.
1) $k=1 \rightarrow 2^{1}>1$
2) Предположим, что неравенство верно при $k=n : 2^{n}>n$
3) Докажите, что и при k = n + 1 неравенство выполняется.
Этот вариант в каком-то смысле тоже основан на том, что слева единиц больше, чем справа. Только строго это доказывает.

В первой мне вариант Nemiroff'а очень нравится. Я бы так решал: рассмотрим натуральные, большие трёх. Они представимы в одном из трёх видов:
$n = 3k$ - можно разменять только тройками
$n = 3k + 1$
$n = 3k + 2$
Если Вы докажете, что последние два числа можно представить в виде 10+3l или 8 + 3l соответственно, то и эти числа тоже можно будет разменять так, как нужно.

Третью, если честно, не очень понял. "Одинаковая смесь" - то есть поровну красок разного цвета или как?

Про третью: не знаю, я переписал условие, а как нам понимать - без понятия.
Про первую: так у меня практически такое же решение.
Про вторую: для меня составляет трудность само доказательство, вот и учусь пока что.

2) функция $2^k$ - где $k$ натуральное - постоянно возрастающая
скорость возрастания левой части неравенства $2^k>k$ больше, чем второй на всём интервале натуральных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:36 


04/09/11
149
Ну, тогда во второй надо доказать, что функция $y(x) = 2^{x}-x$ строго возрастает при $x\geq 1$. По-моему, вариант с индукцией проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:39 
Заморожен


10/10/11
109
Asker Tasker в сообщении #584933 писал(а):
Ну, тогда во второй надо доказать, что функция $y(x) = 2^{x}-x$ строго возрастает при $x\geq 1$. По-моему, вариант с индукцией проще.

Можете написать понятное доказательство с помощью мат. индукции?
Я пока доказываю как умею)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:44 


04/09/11
149
На этом форуме, помнится, нельзя давать решения. Третью задачу я всё равно не понял, как решать. А в первой, думаю, один из правильных вариантов такой:
1) отметим, что "сумму можно разменять 3-мя и 5-ью рублями" означает, что данное натуральное число n (по условию большее семи) можно представить в виде $n = 3a + 5b$, где а и b - какие-то неотрицательные числа.
2) числа 8, 9, 10, очевидно так представить можно
3) Пусть n>7 - произвольное. Если n делится на три, всё понятно. Если n не делится на три, то даёт в остатке 1 или 2. Пусть, например, 1. Тогда $n = 3k + 1$. Если Вы докажете, что число n представимо в виде $8 + 3l$ или $10 + 3l$, то оно представимо так, как нам нужно.
То есть Вам нужно подумать, какое из двух равенств обязательно будет иметь место и доказать это:
$3k + 1 = 8 + 3l$
$3k + 1 = 10 + 3l$

-- 14.06.2012, 14:45 --

Вы знаете, что такое метод мат. индукции?
Если нет, то расскажу. Если да, то опишите его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 14:50 
Заморожен


10/10/11
109
Asker Tasker в сообщении #584939 писал(а):
На этом форуме, помнится, нельзя давать решения. Третью задачу я всё равно не понял, как решать. А в первой, думаю, один из правильных вариантов такой:
1) отметим, что "сумму можно разменять 3-мя и 5-ью рублями" означает, что данное натуральное число n (по условию большее семи) можно представить в виде $n = 3a + 5b$, где а и b - какие-то неотрицательные числа.
2) числа 8, 9, 10, очевидно так представить можно
3) Пусть n>7 - произвольное. Если n делится на три, всё понятно. Если n не делится на три, то даёт в остатке 1 или 2. Пусть, например, 1. Тогда $n = 3k + 1$. Если Вы докажете, что число n представимо в виде $8 + 3l$ или $10 + 3l$, то оно представимо так, как нам нужно.
То есть Вам нужно подумать, какое из двух равенств обязательно будет иметь место и доказать это:
$3k + 1 = 8 + 3l$
$3k + 1 = 10 + 3l$

-- 14.06.2012, 14:45 --

Вы знаете, что такое метод мат. индукции?
Если нет, то расскажу. Если да, то опишите его.

Я создавал тему в олимпиадных задачах, ибо они из сборника олимпиадных задач. А в разделе олимпиадных задач решение давать можно.
Мат. индукция: ну например нужно показать, что правильно при n=1, а затем доказать, что при $n+1$.
3 задачу я понял как решать, а 1 я сам решил правильно вроде как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 15:02 


04/09/11
149
Правильно. Но могут придраться.
А при доказательства через индукция придраться не к чему.
Схему доказательства я расписал.
А суть метода в общем случае вот в чём: доказать, что какое-то утверждение верно для единицы. Доказать, что из предположения "справедливость утверждения доказана для числа n" следует, что и для числа n+1 оно также верно.
Докажите, что из неравенства $2^{n} > n$ следует, что $2^{n+1} > n+1$ и тем самым будет завершено доказательство по индукции. Строгое и, если не писать к нему комментарии, предельно короткое.

Со второй задачей разобрались?

P.S.
Если решили третью, расскажите - интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 15:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Asker Tasker в сообщении #584946 писал(а):
Если решили третью, расскажите - интересно.

сообщение #584915"]

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте три задачи.
Сообщение14.06.2012, 15:10 
Заморожен


10/10/11
109
Asker Tasker в сообщении #584946 писал(а):
Правильно. Но могут придраться.
А при доказательства через индукция придраться не к чему.
Схему доказательства я расписал.
А суть метода в общем случае вот в чём: доказать, что какое-то утверждение верно для единицы. Доказать, что из предположения "справедливость утверждения доказана для числа n" следует, что и для числа n+1 оно также верно.
Докажите, что из неравенства $2^{n} > n$ следует, что $2^{n+1} > n+1$ и тем самым будет завершено доказательство по индукции. Строгое и, если не писать к нему комментарии, предельно короткое.

Со второй задачей разобрались?

P.S.
Если решили третью, расскажите - интересно.

Выше уже привели решение на 3.
$2^{n+1}=2\cdot2^n$, $2\cdot2^2>1+n$ А дальше?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group