На этом форуме, помнится, нельзя давать решения. Третью задачу я всё равно не понял, как решать. А в первой, думаю, один из правильных вариантов такой:
1) отметим, что "сумму можно разменять 3-мя и 5-ью рублями" означает, что данное натуральное число n (по условию большее семи) можно представить в виде
![$n = 3a + 5b$ $n = 3a + 5b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/7/fa7ace04bdd9405f578af3766f99f81982.png)
, где а и b - какие-то неотрицательные числа.
2) числа 8, 9, 10, очевидно так представить можно
3) Пусть n>7 - произвольное. Если n делится на три, всё понятно. Если n не делится на три, то даёт в остатке 1 или 2. Пусть, например, 1. Тогда
![$n = 3k + 1$ $n = 3k + 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/c/10c48e245d798a2ee2be842eb05049ea82.png)
. Если Вы докажете, что число n представимо в виде
![$8 + 3l$ $8 + 3l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb88b665669ed2c9804f17db12b7eb2682.png)
или
![$10 + 3l$ $10 + 3l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/9/8095fd5e17907a12c582d49356e6dce682.png)
, то оно представимо так, как нам нужно.
То есть Вам нужно подумать, какое из двух равенств обязательно будет иметь место и доказать это:
![$3k + 1 = 8 + 3l$ $3k + 1 = 8 + 3l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/1/251415f7a2d9d637681d4deb0a7ace0b82.png)
-- 14.06.2012, 14:45 --Вы знаете, что такое метод мат. индукции?
Если нет, то расскажу. Если да, то опишите его.