матрица над кольцом главных идеалов

[dikiy]

Дана матрица М над кольцом целых чисел.

1)

Показать, что если $|\det(M)|=1$, то все столбцы и строки являются примитивными, то есть наибольший общий делитель элементов вектора-строки/столбца это 1.

Это я доказал с помощью разложения детерминанты по строке.

А вот обратное утверждение - к каждому примитвному вектору существует матрица с детерминантой $\pm 1$, доказать не получается.


2)

параллелограмм $P_A$ имеет лишь одну целочисленную точку - 0, если $|\det(A)|=1$
$P_A=\{\sum \lambda_i v_i | 0 \leq \lambda_i < 1 \}$, где $v_i$ - вектора матрицы А.

Это я доказал с помощью того, что параллелограмм - это выпуклая оболочка данных векторов, потом заменяя в А любой вектор на получившийся целочисленный, показываем, что детерминанта всегда больше единицы.

А вот как доказать утверждение $|\det(A)|=\#(P_A \cap \mathbb Z^2)$ у меня к сожалению идей нет :(

[apriv]

dikiy в сообщении #584031 писал(а):

А вот обратное утверждение - к каждому примитвному вектору существует матрица с детерминантой $\pm 1$, доказать не получается.

Например, можно доказать, что примитивный вектор можно элементарными преобразованиями привести к стандартному базисному вектору $(1,0,\dots,0)$.

[RIP]

2) Тут можно по-разному рассуждать.

Например, раздуем параллелограмм $P_A$ в $n\in\mathbb N$ раз, т.е. рассмотрим параллелограмм $nP_A=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2\mid0\le\lambda_i<n\}$. Его площадь равна $n^2|\det A|$, а количество целых точек в нём равно $n^2|P_A\cap\mathbb Z^2|$ (поскольку $v_i\in\mathbb Z^2$). Эти две величины асимптотически эквивалентны, т.е. их отношение стремится к 1, но отношение от $n$ не зависит. Это, так сказать, "аналитическое" докво.

Можно доказывать и "алгебраически". Несложно понять, что $|P_A\cap\mathbb Z^2|$ — это индекс подгруппы $\mathbb Z v_1+\mathbb Z v_2$ в группе $\mathbb Z^2$. В этой подгруппе можно найти такой базис $(v'_1,v'_2)$, что соответствующая матрица верхнетреугольна, при этом модуль определителя не зависит от выбора базиса. Но для верхнетреугольной матрицы более менее очевидно, что модуль определителя равен индексу (множество представителей смежных классов очевидно).

-- Вт 12.06.2012 23:28:32 --

связанная тема

[dikiy]

Цитата:

Например, можно доказать, что примитивный вектор можно элементарными преобразованиями привести к стандартному базисному вектору $(1,0,\dots,0)$.

ну да. Но что это дает?

допустим мы утверждение верно для матриц размерности n. Для проверки утверждения для n+1 возьмем матрицу размернсти nxn. Сделаем из нее матрицу A (n+1)x(n+1), таким образом, что первый столбец и строка будут нулями, а $a_{11} = 1$. Но потом что-то не вижу пути.

-- 12.06.2012, 22:00 --

поправка: $|\det(A)|=\#(P_A\cap \mathbb Z^n)$

[apriv]

dikiy в сообщении #584115 писал(а):

Цитата:

Например, можно доказать, что примитивный вектор можно элементарными преобразованиями привести к стандартному базисному вектору $(1,0,\dots,0)$.

ну да. Но что это дает?[/math]

Ну как же, получится, что Ваша строчка $v$ после умножению на матрицу $A$ с определителем $\pm 1$ превращается в строчку $(1,0,\dots,0)$. Значит, первая строчка матрицы $A^{-1}$ совпадает с $v$.

[dikiy]

Цитата:

Ну как же, получится, что Ваша строчка $v$ после умножению на матрицу $A$ с определителем $\pm 1$ превращается в строчку $(1,0,\dots,0)$.

не понимаю. Каким образом я найду такую матрицу A?

[apriv]

dikiy в сообщении #584132 писал(а):

Цитата:

Ну как же, получится, что Ваша строчка $v$ после умножению на матрицу $A$ с определителем $\pm 1$ превращается в строчку $(1,0,\dots,0)$.

не понимаю. Каким образом я найду такую матрицу A?

Это произведение соответствующих матриц элементарных преобразований, которые приводят строчку $v$ к виду $(1,0,\dots,0)$

[dikiy]

Аргх. Теперь понял. Я просто вначале немного не о том подумал. Думал, что речь шла в первую очередь о том, что можно получить 1 с помощью целочисленной комбинации. А смысл был оказывается еще и в том, чтобы получить единичный вектор с помощью невырожденной матрицы.

Спасибо!