Можна ли вычислить интеграл?

[vitlate]

$\int (\frac{-x+3}{x^2-2x+2})dt=ln(x^2-2x+2)- \int (\frac{3x+5}{x^2-2x+2})dt$
правильно?

[Brukvalub]

Что может быть правильным в не вычисленном интеграле? Пример стандартный: выделите в числителе производную знаменателя и аддитивную константу и разделите интеграл на два слагаемых, во втором интеграле(где в числителе - константа) выделите в знаменателе полный квадрат. Остальное должно быть ясно.

[vitlate]

так получится: $\int (\frac{-x+3}{x^2-2x+2})dt=ln(x^2-2x+2)- arctg(x-1)$
правильно?

[Lion]

Точно нет, поскольку, во-первых, нет константы интегрирования, а во-вторых, $\arctg (x-1)'\neq \frac{3x+5}{x^2-2x+2}$.

[vitlate]

$ \frac{3x+5}{(x-0,5)^2+1,5}$
что делать с числителем? как это упростить?

[Someone]

Lion писал(а):

Точно нет, поскольку, во-первых, нет константы интегрирования, а во-вторых, $\arctg (x-1)'\neq \frac{3x+5}{x^2-2x+2}$.

Вы на первое его равенство, что ли, смотрите? А оно неправильное.

Добавлено спустя 6 минут 30 секунд:

vitlate писал(а):

$ \frac{3x+5}{(x-0,5)^2+1,5}$
что делать с числителем? как это упростить?

Неправильно. Если скобки в знаменателе раскрыть, не получится того, что было.

Вернитесь к самому первому интегралу: $\int\frac{-x+3}{x^2-2x+2}dx$.
Заметим, что $(x^2-2x+2)'=2x-2$, вот это выражение и нужно выделить в числителе: $-x+3=A(2x-2)+B$. Какими должны быть $A$ и $B$?

[vitlate]

Вот это неправильно?

vitlate писал(а):

$\int (\frac{-x+3}{x^2-2x+2})dt=ln(x^2-2x+2)- \int (\frac{3x+5}{x^2-2x+2})dt$

[Someone]

Неправильно. Если перенести интеграл из правой части в левую и сложить, то получится $\int\frac{2x+8}{x^2-2x+2}dx$. А $\left(\ln(x^2-2x+2)\right)'=\frac{2x-2}{x^2-2x+2}$.

[vitlate]

да точно, получается:
$\int\frac{-3x+5}{x^2-2x+2}dx$
а что делать с числителем, как его упростить?
$\int\frac{-3x+5}{(x-0,5)^2+1,5}dx$

[Someone]

Я Вам написал чуть выше.

[vitlate]

у меня получилось: А=-0,5 и В=2
правильно?

[Someone]

vitlate писал(а):

у меня получилось: А=-0,5 и В=2

Вот и замечательно. Теперь разбиваем интеграл на два и оба вычисляем:

$$\int\frac{-x+3}{x^2-2x+2}dx=-\frac 12\int\frac{(2x-2)dx}{x^2-2x+2}+2\int\frac{dx}{x^2-2x+2}\text{.}$$

[vitlate]

Получается:

$$ -0,5ln(x^2-2x+2)+2arctg(x-1)+c $$

так?

[Someone]

vitlate писал(а):

Получается:

$$ -0,5ln(x^2-2x+2)+2arctg(x-1)+c $$

так?

Так. Только логарифм кодируется как \ln, арктангенс - как \arctg. И ещё: в данном случае, конечно, $x^2-2x+2>0$ при всех $x$, но в общем случае надо писать $\ln|x^2-2x+2|$.

[Руст]

Someone писал(а):

но в общем случае надо писать $\ln|x^2-2x+2|$.

Здесь это не нужно $x^2-2x+2\ge 1$.