Задача на конечное поле

[correy]

Построить расширение степени 2 поля $F_{11}$ и решить в нем уравнение $x^{2}+x+6=0$.

Перерыл кучу информации про расширения в полях Галуа и как-то не смог осознать(
Вроде задачка не сложная, но как-то не получается к ней подойти никак. Заранее спасибо.

[Joker_vD]

Чудесным образом $x^2+x+6$ неприводим над $F_{11}$ — у него нет там корней, а раз степень всего-навсего два... Ну так вот, неприводимый многочлен есть. Строите расширение. Корни там известно какие — $\overline{x}$ и $\overline{x}^{11}$... все вроде?

[correy]

Цитата:

Ну так вот, неприводимый многочлен есть. Строите расширение. Корни там известно какие — $\overline{x}$ и $\overline{x}^{11}$... все вроде?

А можно здесь поподробнее расписать, если не трудно?

[Joker_vD]

Расширение поля — это $F_{11}[x]/(x^2+x+6)$, которое можно мыслить как множество всех многочленов $F_{11}[x]$ степени не выше первой — как множество $\{ax+b\mid a,b\in F_{11}\}$ — где операция умножения производится по модулю $x^2+x+6$: чтобы перемножить $g(x)=a_1x+b_1$ и $h(x)=a_2x+b_2$, вы их перемножаете, делите с остатком получившийся многочлен на $x^2+x+6$; остаток и есть произведение $g(x)h(x)$. Пример: $(x+6)(x+5)=x^2+11x+30=1\cdot(x^2+x+6)+10x+2=10x+2$. Это понятно?

[correy]

Цитата:

Это понятно?

Да, это понятно! :)

[Joker_vD]

Тогда идем дальше. Существует теорема Ферма: Если $p\nmid a$, то $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ — т.е. в поле $\mathbb Z_p$ верно равенство $a^p=a$. Также в этом поле верно очень полезное равенство $(a_1+a_2+\dots+a_n)^p=a_1^p+a_2^p+\dots+a_n^p$. Собственно, они верны и в полях $F_{p^m}$.

Ну так вот. $\overline x$ — корень $f(x)$ в $F_{11}[x]/f(x)$. Что насчет $\overline x^{11}$ — подставьте его в $f(x)$, замените все коэффициенты $a_i$ на $a_i^p$... вынесите общую степень $p$ за скобки

[correy]

Цитата:

$\overline x$ — корень

А как найти чему он равен?

[Joker_vD]

correy
Странный вопрос. Как если бы речь шла об уравнении $x^2-1=0$, я бы сказал "$1$ — корень", и тут вы: "А как найти чему он равен?" Себе и равен. $\overline x$ — это элемент поля $F_{121}$.

[correy]

Цитата:

Странный вопрос. Как если бы речь шла об уравнении $x^2-1=0$, я бы сказал "$1$ — корень", и тут вы: "А как найти чему он равен?" Себе и равен. $\overline x$ — это элемент поля $F_{121}$.

Т.е. мы не рассматриваем конкретное поле и не находим конкретное значение?

[Joker_vD]

correy в сообщении #583493 писал(а):

Т.е. мы не рассматриваем конкретное поле и не находим конкретное значение?

Вот поле $F_{121} = \{ \overline0, \overline1, \overline2, \dots, \overline{10}, \overline x, \overline{x+1},\dots,\overline{x+10},\overline{2x}, \overline{2x+1},\dots,\overline{10x+10}\}$. Вот конкретный элемент этого поля: $\overline{x}$. Если вы его подставите в многочлен $f(x)=x^2+x+6$ вместо икса, то получите $f(\overline x)=\overline x^2+\overline x+\overline 6=\overline{x^2+x+6}=\overline{0}$.

[correy]

Цитата:

замените все коэффициенты $a_i$ на $a_i^p$... вынесите общую степень $p$ за скобки

$f({\overline x}^{11})={\overline x}^{22}+{\overline x}^{11}+\overline 6$. Получается так? И нужно привести по модулю?

[Joker_vD]

correy в сообщении #583782 писал(а):

И нужно привести по модулю?

Нет. Меняйте $\overline6$ на $\overline6^{11}$ и выносите степень $11$ за скобки.

[correy]

Цитата:

Нет. Меняйте $\overline6$ на $\overline6^{11}$ и выносите степень $11$ за скобки.

Тогда, мы получим
$f({\overline x}^{11})={\overline x}^{22}+{\overline x}^{11}+{\overline 6}^{11}=({\overline x}^{2}+\overline x+\overline 6)^{11}=0$.

И это ответ?:)

[Joker_vD]

Ну, еще неплохо бы было объяснить, почему вы были вправе провернуть такой трюк, а так да. Два корня вы нашли, больше корней быть не может.

[correy]

Цитата:

Ну, еще неплохо бы было объяснить, почему вы были вправе провернуть такой трюк, а так да. Два корня вы нашли, больше корней быть не может.

Понятно, только я вот не понял, как у нас $\overline6$ превратилась в $\overline6^{11}$, если мы только изменили значение $x$?