2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на конечное поле
Сообщение06.06.2012, 23:56 
Построить расширение степени 2 поля $F_{11}$ и решить в нем уравнение $x^{2}+x+6=0$.

Перерыл кучу информации про расширения в полях Галуа и как-то не смог осознать(
Вроде задачка не сложная, но как-то не получается к ней подойти никак. Заранее спасибо.

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение07.06.2012, 00:33 
Чудесным образом $x^2+x+6$ неприводим над $F_{11}$ — у него нет там корней, а раз степень всего-навсего два... Ну так вот, неприводимый многочлен есть. Строите расширение. Корни там известно какие — $\overline{x}$ и $\overline{x}^{11}$... все вроде?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение07.06.2012, 01:13 
Цитата:
Ну так вот, неприводимый многочлен есть. Строите расширение. Корни там известно какие — $\overline{x}$ и $\overline{x}^{11}$... все вроде?


А можно здесь поподробнее расписать, если не трудно?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение07.06.2012, 01:21 
Расширение поля — это $F_{11}[x]/(x^2+x+6)$, которое можно мыслить как множество всех многочленов $F_{11}[x]$ степени не выше первой — как множество $\{ax+b\mid a,b\in F_{11}\}$ — где операция умножения производится по модулю $x^2+x+6$: чтобы перемножить $g(x)=a_1x+b_1$ и $h(x)=a_2x+b_2$, вы их перемножаете, делите с остатком получившийся многочлен на $x^2+x+6$; остаток и есть произведение $g(x)h(x)$. Пример: $(x+6)(x+5)=x^2+11x+30=1\cdot(x^2+x+6)+10x+2=10x+2$. Это понятно?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение07.06.2012, 10:31 
Цитата:
Это понятно?


Да, это понятно! :)

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение07.06.2012, 19:12 
Тогда идем дальше. Существует теорема Ферма: Если $p\nmid a$, то $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ — т.е. в поле $\mathbb Z_p$ верно равенство $a^p=a$. Также в этом поле верно очень полезное равенство $(a_1+a_2+\dots+a_n)^p=a_1^p+a_2^p+\dots+a_n^p$. Собственно, они верны и в полях $F_{p^m}$.

Ну так вот. $\overline x$ — корень $f(x)$ в $F_{11}[x]/f(x)$. Что насчет $\overline x^{11}$ — подставьте его в $f(x)$, замените все коэффициенты $a_i$ на $a_i^p$... вынесите общую степень $p$ за скобки :shock:

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение11.06.2012, 14:40 
Цитата:
$\overline x$ — корень


А как найти чему он равен?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение11.06.2012, 17:51 
correy
Странный вопрос. Как если бы речь шла об уравнении $x^2-1=0$, я бы сказал "$1$ — корень", и тут вы: "А как найти чему он равен?" Себе и равен. $\overline x$ — это элемент поля $F_{121}$.

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение11.06.2012, 18:09 
Цитата:
Странный вопрос. Как если бы речь шла об уравнении $x^2-1=0$, я бы сказал "$1$ — корень", и тут вы: "А как найти чему он равен?" Себе и равен. $\overline x$ — это элемент поля $F_{121}$.


Т.е. мы не рассматриваем конкретное поле и не находим конкретное значение?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение11.06.2012, 18:25 
correy в сообщении #583493 писал(а):
Т.е. мы не рассматриваем конкретное поле и не находим конкретное значение?

:shock:
Вот поле $F_{121} = \{ \overline0, \overline1, \overline2, \dots, \overline{10}, \overline x, \overline{x+1},\dots,\overline{x+10},\overline{2x}, \overline{2x+1},\dots,\overline{10x+10}\}$. Вот конкретный элемент этого поля: $\overline{x}$. Если вы его подставите в многочлен $f(x)=x^2+x+6$ вместо икса, то получите $f(\overline x)=\overline x^2+\overline x+\overline 6=\overline{x^2+x+6}=\overline{0}$.

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение12.06.2012, 12:53 
Цитата:
замените все коэффициенты $a_i$ на $a_i^p$... вынесите общую степень $p$ за скобки


$f({\overline x}^{11})={\overline x}^{22}+{\overline x}^{11}+\overline 6$. Получается так? И нужно привести по модулю?

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение12.06.2012, 12:55 
correy в сообщении #583782 писал(а):
И нужно привести по модулю?

Нет. Меняйте $\overline6$ на $\overline6^{11}$ и выносите степень $11$ за скобки.

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение12.06.2012, 13:11 
Цитата:
Нет. Меняйте $\overline6$ на $\overline6^{11}$ и выносите степень $11$ за скобки.


Тогда, мы получим
$f({\overline x}^{11})={\overline x}^{22}+{\overline x}^{11}+{\overline 6}^{11}=({\overline x}^{2}+\overline x+\overline 6)^{11}=0$.

И это ответ?:)

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение12.06.2012, 13:29 
Ну, еще неплохо бы было объяснить, почему вы были вправе провернуть такой трюк, а так да. Два корня вы нашли, больше корней быть не может.

 
 
 
 Re: Задача на конечное поле
Сообщение12.06.2012, 13:33 
Цитата:
Ну, еще неплохо бы было объяснить, почему вы были вправе провернуть такой трюк, а так да. Два корня вы нашли, больше корней быть не может.


Понятно, только я вот не понял, как у нас $\overline6$ превратилась в $\overline6^{11}$, если мы только изменили значение $x$?

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group