Пара вопросов по $C^{*}([0,1],\mathbb{R}^n)$

[Nimza]

Первый вопрос такой. Правда ли, что функция из $C^{*}([0,1],\mathbb{R}^n}) = H$ может иметь не более чем счётное число разрывов? Если $n=1$ то это известный результат, так как в этом случае $H = BV[0,1]$.

Второй вопрос такой. Слабая* сходимость в $H$ - это случайно не поточечная сходимость в точках непрерывности предельной функции? А просто слабая сходимость? ($n>1$).

[Nimza]

Если я не ошибаюсь, любой лин. непр. функционал $U$ на $C([0,1],\mathbb{R}^n)$ можно задать в виде

$$ \langle U, y \rangle = \int\limits_{0}^{1} y_{1}(t) dU_{1}(t) + \cdots + \int\limits_{0}^{1} y_{n}(t) dU_{n}(t) $$

где $U_{1}, \ldots, U_{n} \in BV[0,1]$, так что формально $U$ это вектор из функций ограниченной вариации. И тогда результаты непосредственно следуют из одномерного случая.

Получается, $C^{*}([0,1],\mathbb{R}^n) = (BV[0,1])^n$? Но ведь и $(C^{(n-1)}([0,1],\mathbb{R}))^{*} = (BV[0,1])^n$. То есть $C^{*}([0,1],\mathbb{R}^n) = (C^{(n-1)}([a,b],\mathbb{R})^{*}$?

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #582930 писал(а):

Но ведь и $(C^{(n-1)}([0,1],\mathbb{R}))^{*} = (BV[0,1])^n$.

вот я знаю такую теорему: пространство $(C^n[0,1])'$ состоит из функционалов вида

$$\psi\circ\frac{d^n}{dx^n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\frac{d^i\delta_{1/2}}{dx^i},\quad \psi\in(C[0,1])',\quad \lambda_i\in \mathbb{R}$$

$n$-- количество непрерывных производных
а Вы что имеете в виду?

[Nimza]

Что такое $\delta_{1/2}$? Ммм... не одно ли и то же должно получиться? Я имею в виду, что общий вид линейного непрерывного функционала на $C^n[0,1]$ это

$$ \int\limits_{0}^{1} y(t) dU_{1}(t) + \ldots + \int\limits_{0}^{1} y^{(n)}(t) dU_{n+1}(t) $$

где $U_{1},\ldots, U_{n+1} \in BV[0,1]$. По крайней мере мне всегда так казалось.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #582958 писал(а):

Что такое $\delta_{1/2}$

-- $\delta$-функция $\delta_{1/2}f=f(1/2)$

[Nimza]

Странно получается. Не могу понять, как с помощью общего вида Вашего функционала получить, например, $\delta_{1/4}$. Если я не ошибаюсь (снова), моё представление есть в Гельфанде, Шилове.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #582964 писал(а):

Не могу понять, как с помощью общего вида Вашего функционала получить, например, $\delta_{1/4}$

это можно сделать

Nimza в сообщении #582964 писал(а):

Странно получается. Не могу понять, как с помощью общего вида Вашего функционала получить, например, $\delta_{1/4}$. Если я не ошибаюсь (снова), моё представление есть в Гельфанде, Шилове.

я не вижу противоречий с Вашим представлением. Я думаю, что мое представление единственно, а у Гельфанда Шилова -- нет.

post521275.html#p521275

[g______d]

Nimza в сообщении #582930 писал(а):

Но ведь и $(C^{(n-1)}([0,1],\mathbb{R}))^{*} = (BV[0,1])^n$.

Да, здесь нет точного равенства. Функционал $f(1)-f(0)$ на $C^1[0;1]$ можно представить как $f(1)-f(0)$, а можно как $\int\limits_0^1 f'(x)dx$. Т. е. любой функционал представляется как набор из $n-1$ меры, но не однозначно.

[Nimza]

Да, спасибо, как-то не заметил неоднозначности сразу.

[Oleg Zubelevich]

so that $(C^n[0,1])'=\mathbb{R}^n\times (C[0,1])'$