Счетность множества строгих локальных максимумов

[neo66]

Верно ли, что множество строгих локальных максимумов функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ счетно?

[Хорхе]

Верно
Для каждого $x_0$ возьмем окрестность $O$: $f(x)<f(x_0), x\in O\setminus\{x_0\}$. Выберем две рациональные точки $q_1<x_0<q_2$ в $O$, имеет инъекцию множества строгих локальных максимумов в $\mathbb Q^2$ (инъективность очевидна).

[Руст]

Пусть в точке x локальный максимум y=f(x). Речь идёт о счётности множества х или о счётности множества y (значений максимумов). Мне почему то кажется, что эти вещи разные. Второе множество счётное, а первое может быть, что то типа Канторова множества.

[Хорхе]

Руст писал(а):

первое может быть, что то типа Канторова множества.

up

[Юстас]

Хорхе писал(а):

Верно
Для каждого $x_0$ возьмем окрестность $O$: $f(x)<f(x_0), x\in O\setminus\{x_0\}$. Выберем две рациональные точки $q_1<x_0<q_2$ в $O$, имеет инъекцию множества строгих локальных максимумов в $\mathbb Q^2$ (инъективность очевидна).

Почему бы в окрестности $O$ не быть ещё континууму локальных максимумов? Вдруг окажется так, что все рациональльные точки закончатся?

[Brukvalub]

Хорхе писал(а):

....(инъективность очевидна).

Разве это не так?

[Юстас]

Мне не очевидна.

[RIP]

Пусть одной и той же паре $(q_1;q_2)$ соответствуют точки $x_0$ и $x_1$. Тогда $f(x_0)>f(x_1)>f(x_0)$

[Руст]

Да, для строгих максимумов это так. А просто для максимумов имеет место то, что я говорил. Число точек максимумов может быть континиум, а число значений максимумов счётно.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Да, для строгих максимумов это так. А просто для максимумов имеет место то, что я говорил. Число точек максимумов может быть континиум, а число значений максимумов счётно.

Имея пример постоянной функции, немного странно обсуждать случай нестрогих экстремумов.

[Юстас]

Можно ещё так(впрочем, у Хорхе намного изящнее): пусть максимумов континуум, тогда из того что множество значений максимумов счётно, следует, что существует континуальное подмножество множества максимумов $\mathbb{K}$ и число $y: \ f(\mathbb{K})=y$. Существует предельная точка $\mathbb{K}$, лежащая в $\mathbb{K}$ и являющаяся пределом нестабилизирующейся последовательности(следует из континуальности $\mathbb{K}$). Но тогда эта точка не может быть строгим максимумом.

[Руст]

Можно привести пример непрерывной функции, когда у любой точки максимума x в некоторой окрестности почти все значения (за исключением меры ноль) f(z)<f(x) строго меньше, тем не менее количество точек максимумов несчётно.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Можно привести пример непрерывной функции, когда у любой точки максимума x в некоторой окрестности почти все значения (за исключением меры ноль) f(z)<f(x) строго меньше, тем не менее количество точек максимумов несчётно.

Интересно было бы посмотреть на такой пример.

[Руст]

Brukvalub писал(а):

Интересно было бы посмотреть на такой пример.

Можно определить f(x) через разложение $x=\sum_{k}\frac{x_k}{10^k},f(x)=\sum_k\frac{y_k}{10^k}$ наподобии множеств Кантора, где вместо выемок кусочно линейные функции. Например, пусть А канторово множество действительных чисел все цифры которой 0 или 9, a $f(x)=-ro(x,A)$, ro(x,A) расстояние от точки х до множества А.

[нг]

Да, стоит поместить задачу в «Олимпиадные», как ее решение публикуется… Перемещаю в «Помогите решить» — задача вполне стандартная.