устойчивость решения

[Oleg Zubelevich]

Материальная точка движется в $\mathbb{R}^3$ по эллиптической орбите в поле притягивающего центра. Притяжение по закону всемирного тяготения. Доказать, что такое движение неустойчиво по Ляпунову.

[scwec]

Для центрального поля устойчивость ведь, по моему, только для $r^2$. Если показатель $\ge{-2}$. Нет?

[Oleg Zubelevich]

я не знаю, я как-то по простому все законы Кеплера...

[scwec]

Вроде бы так. Вспомню доказательство - напишу.

[scwec]

Проще доказывать так.
Все близкие траектории к эллипсу в $\mathbb{R}^3$ лежат в области энергия $E<0$ и также являются эллипсами. На близких по координатам траекториях здесь близки и скорости.
Пусть период обращения по начальной орбите $T_0$, а по $\varepsilon$-близкой $T_1=T_0+\delta$.
Возьмем любую точку $x_0$ на первоначальном эллипсе и пусть близкий эллипс проходит через $x_0$.
$x=x(x_0,t)$ - уравнение эллипса, а $\tilde {x}=\tilde {x}(x_0,t)$ уравнение близкого эллипса.
$x(x_0,0)=x(x_0,T)=x(x_0,nT)=x_0$ для любого целого $n$.
Для близкого эллипса $\tilde {x}(x_0,0)=\tilde {x}(x_0,T_1)=\tilde {x}(x_0,nT_1)=x_0$
$|\tilde {x}(x_0,nT_0)-x(x_0,nT_0)|=|\tilde {x}(x_0,nT_1-n\delta)-x(x_0,nT_0)|=An\delta$, где $A$ -некоторое вещественное число.
Таким образом, несмотря на орбитальную близость траекторий, $x_0$ отъезжает от начального состояния за счет подходящего выбора $n$ достаточно далеко за время $nT_0$ на любой близкой траектории, проходящей через $x_0$ и Ляпуновской устойчивости нет.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #581860 писал(а):

Доказать, что такое движение неустойчиво по Ляпунову.

Просто сколь угодно малое начальное возмущение способно изменить период обращения -- на пусть тоже малую, но ненулевую величину. И тогда из-за рассинхронизации точки время от времени будут оказываться на противоположных частях эллипса.

[Oleg Zubelevich]

Я именно это и имел в виду: задача для устного счета на законы Кеплера

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #582938 писал(а):

задача для устного счета на законы Кеплера

ну только тов. Кеплер-то тут при чём: ежу ж понятно, что периоды обращения не могут в точности совпадать, раз они не совпадают в целом (т.е. период не есть некая универсальная постоянная), и при этом заведомо существуют всегда, и при этом откровенно непрерывно зависят от входных параметров

[Oleg Zubelevich]

вот эти эмоции и формализуются законами Кеплера