Разрезание квадрата и куба

[Ktina]

Известно, что квадрат можно разрезать на любое натуральное число квадратов, большее 5, а также на 4 квадрата.
Разрезать квадрат на 2, 3 или 5 квадратов не удастся.

Существует ли аналогичная задача для куба?
Если существует, к какому типу задач она относится - к олимпиадным или к исследовательским?

[ishhan]

Для куба существует соотношение:

$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3= 3(x+y)(x+z)(y+z)$$

Если составить систему уравнений в которой:
$x+y=d_1$,
$x+z=d_2$
$ y+z=9d_3$
Выбрав число$ 27d_1d_2d_3=m^3$
Получите столько решений сколько существует способов представления одной трети числа $m^3$в произведение трёх сомножителей.
Может есть и другие решения, но этот, довольно простой и соответствует скорее всего олимпиадному уровню.

[hippie]

Куб удалось разрезать на следующие количества кубиков:

1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60 и любое количество, большее 61.

[Ktina]

hippie в сообщении #582953 писал(а):

Куб удалось разрезать на следующие количества кубиков:

1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60 и любое количество, большее 61.

На 51 тоже можно

[Ktina]

Вот, таки нашла:
http://mathworld.wolfram.com/HadwigerProblem.html
И вот:
http://mathworld.wolfram.com/CubeDissection.html
Вторая ссылка открывается крайне не спеша (или "неспеша"?), во всяком случае, на моём лэптопе.