Второй конкурс "Нетрадиционные пандиагональные квадраты"

[Nataly-Mak]

Тема конкурса “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”

Конкурс начинается 8 июля текущего года и продлится до 18.00 мск. 8 ноября 2011 г.
В конкурсе могут принять участие все желающие.
Можно решить одну или несколько из предложенных задач.
Решения присылать в личный раздел на форуме или по e-mail.
Если найдены лучшие решения одной и той же задачи, их тоже надо присылать.
Решения присылать на русском языке.

Лучшие решения будут представлены по окончании конкурса.

О магических квадратах, простых числах и числах Смита можно посмотреть в Википедии или в [3].

Общее требование ко всем задачам: каждый магический квадрат должен быть составлен из попарно различных чисел.

Задача №1

Известен наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел
(смотрите последовательность A073523).
Построить наименьшие пандиагональные квадраты из последовательных простых чисел порядков 4 и/или 5.

Примечание: магический квадрат называется наименьшим, если он имеет минимальную константу из всех подобных магических квадратов. Поиск пандиагонального квадрата порядка 4 из последовательных простых чисел выполнял М. Алексеев. Проверены простые числа в интервале до 7,5 триллионов натуральных чисел. Квадрат не найден.

Задача № 2

О пандиагональном квадрате 6-го порядка из последовательных простых чисел сказано в задаче №1.
Его магическая константа равна 930.
Найти следующий пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел (то есть магическая константа этого квадрата должна быть наименьшей из всех потенциальных магических констант для таких квадратов) или доказать, что таких квадратов больше не существует.
Несколько потенциальных магических констант для квадратов указанного вида: 1494, 3774, 8118, 9318, 9402, 9486.

Задача № 3

Известный на сегодня наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 1597. Этот квадрат является регулярным и построен с использованием примитивного квадрата.

191 89 397 409 43 157 311
379 103 101 491 17 313 193
317 241 109 163 439 47 281
223 383 227 107 541 37 79
331 337 7 139 167 563 53
83 347 389 277 127 307 67
73 97 367 11 263 173 613

Автор квадрата Н. Макарова.

Доказать, что:
а) данный квадрат является наименьшим среди регулярных пандиагональных квадратов 7-го порядка из простых чисел;
б) не существует нерегулярных пандиагональных квадратов 7-го порядка из простых чисел с меньшей магической константой.
Если а) и/или б) неверно, привести опровергающие примеры.

Примечание: о примитивных квадратах и регулярных пандиагональных квадратах см. [1]. Рекомендуется опробовать построение нерегулярных пандиагональных квадратов по шаблону с использованием общей формулы.

Задача № 4

Найдены совершенные квадраты порядков 4 – 8 из простых чисел (только чётные порядки, для нечётных порядков совершенные квадраты не существуют). Найти совершенные квадраты порядков 10 - 12 из простых чисел с любой, по возможности наименьшей, магической константой.

Примечание: пандиагональный квадрат называется совершенным, если он обладает некоторыми дополнительными свойствами. Статью о совершенных квадратах можно посмотреть в [3].

Задача № 5

Найден совершенный квадрат порядка 4 из чисел Смита. Найти совершенные квадраты порядков 6 – 8 из чисел Смита с любой, по возможности наименьшей, магической константой.

Задача № 6

Гипотеза: для любой нечётной магической константы $S>581$ существует пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел.
(Автор гипотезы В. Павловский)

Доказать или опровергнуть гипотезу.

Задача № 7

Известный на сегодня пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита имеет очень большую магическую константу – 696745.
Вот этот квадрат:

 37678 778 70582 381802 202 25618 180085
381298 23962 1921 217642 382 54814 16726
180346 54418 958 16222 405058 265 39478
39982 381361 37822 2182 234382 562 454
56218 180526 58 24214 16285 418918 526
517 53842 381622 54562 2362 180022 23818
706 1858 203782 121 38074 16546 435658

Автор квадрата Н. Макарова.

Для сравнения: магические константы пандиагональных квадратов из чисел Смита порядков 4 – 5 соответственно: 14560 (наименьшая), 8318 (наименьшая).
Представленный квадрат построен с использованием примитивного квадрата.
Применяя этот же алгоритм или разработав другой, построить пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита с меньшей магической константой.

Задача № 8

Наименьший известный на сегодня пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 3594.

103 463 601 547 857 167 163 337 73 283
347 359 281 563 271 313 509 449 389 113
881 197 193 379 109 523 607 571 7 127
277 331 641 491 467 383 401 569 11 23
613 631 13 151 31 157 911 239 229 619
521 593 131 29 17 41 409 373 719 761
61 199 947 479 733 727 19 211 37 181
149 83 487 643 773 971 251 53 137 47
139 307 43 241 67 223 97 439 1451 587
503 431 257 71 269 89 227 353 541 853

Автор квадрата В. Павловский.

Этот квадрат построен из четырёх пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой по решёткам Россера.
Используя данный метод или любой другой алгоритм, построить пандиагональный квадрат 10-го порядка с меньшей магической константой. Нижняя граница для потенциальных констант пандиагональных квадратов 10-го порядка их простых чисел равна 2470.

Задача № 9

Построить пандиагональный квадрат 14-го порядка из простых чисел с любой, по возможности наименьшей, магической константой. Использовать любой алгоритм.
Один из известных алгоритмов – построение из четырёх пандиагональных квадратов 7-го порядка с одинаковой магической константой по решёткам Россера.

Задача № 10

В [2], [3] приведены примеры построения пандиагональных квадратов порядков 11 и 13 из простых чисел с использованием примитивных квадратов. Используя этот алгоритм или разработав другой, построить пандиагональный квадрат 17-го порядка из простых чисел с любой, по возможности наименьшей, магической константой.


1. THE ALGEBRAIC THEORY OF DIABOLIC MAGIG SQUARES. By Barkley Rosser and R. J. Walker
http://narod.ru/disk/23700701000/Rosser1939.rar.html

Примечание: статья переведена на русский язык С. В. Беляевым. Перевод здесь: http://svb.hut.ru/DOWN/Rosser_ru.pdf

2. Тема “Магические квадраты”:
topic12959.html
3. Главная страница раздела о магических квадратах на сайте автора:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

Первый конкурс “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”:
topic38320.html

Контакты:
[e-mail]
QIP 571379327
личный раздел на форуме

[Nataly-Mak]

Пришла сообщить, что конкурс закончился
Я о нём не забыла. К сожалению, решений не получила совсем.
Значит, адресую свои задачи потомкам, современникам они не по силам

Интересно, кто-нибудь хотя бы пытался решать задачи?

Я сейчас тоже оставила на время оставила квадраты, занимаюсь маршрутами коня и участвую в международном конкурсе программистов.

Но надеюсь ещё вернуться к квадратам, а главное - к магическим кубам, где я только-только начала исследования.

На форуме есть тема и о магических кубах.

Если у кого-то возникнет интерес к моим темам, пишите.

[Leu]

Nataly-Mak в сообщении #501252 писал(а):

Пришла сообщить, что конкурс закончился

как, уже?!

[Nataly-Mak]

Специально для вас могу продлить

[Leu]

спасибо Правда квадраты не входят в сферу моих научных интересов
А какие призы в конкурсе

[Nataly-Mak]

То есть за бабки вы могли бы и порешать?
Лично для вас могу учредить приз.
Правда, много дать не могу (от весьма скромной пенсии).
Вот на международном конкурсе программистов весьма скромные призы (порядка 50$).

[Leu]

ну, если призы тока денежные - можно и за них
призы - они мотивируют)
а что, Вы уже на пенсии? по фото на аватаре вроде еще рано!

[cepesh]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Олимпиадные задачи (CS)»
Причина переноса: не указана.