2011 корней

[Clayton]

При определенном $a$ уравнение ${ 4 }^{ x }-\frac { 1 }{ { 4 }^{ x } } =2\cos { ax } $ имеет 2011 корней.Определить сколько корней при том же $a$ имеет уравнение ${ 4 }^{ x }+\frac { 1 }{ { 4 }^{ x } } =2\cos { ax } +4$

(Оффтоп)

Не знаю на сколько олимпиадная задача,но у меня вызывает трудности.

[nnosipov]

$4022$

[Clayton]

nnosipov в сообщении #582330 писал(а):

$4022$

Не могли бы вы привести решение,то я что-то торможу.

[nnosipov]

Подсказка: возведите первое уравнение в квадрат --- получится что-то похожее на второе уравнение.

[Clayton]

Сделаем замену ${x}={x/2}$.Тогда уравнение ${ 4 }^{ x/2 }-{ 4 }^{ -x/2 }=2\cos { ax/2 } $ имеет 2011 корней.Возведем его в квадрат и через формулу понижения степени для косинуса получаем второе уравнение,но при возведении в квадрат добавились корни.Если ${x}={ x }_{ 0 }$-корень исходного уравнения,то после возведения корнем так же становится и ${x}={-x}_{0}$,т.е. количество коней удваивается(0 решением не является).Так?

[nnosipov]

Да, что-то вроде этого.