Задача на тему особых точек (ТФКП)

[KonstantinKan]

Добрый день, уважаемые форумчане, столкнулся с неразрешимой для себя задачей: имеется функция $f(z)$, для которой точка $z=a$ является существенно особой, какой точкой может являться $a$ для функции $1/f(z)$ (полюсом являться не может абсолютно точно, существенно собой, устранимой особой)?

В частности мне был задан такой вопрос: если для функции $f(z)=\sin z$ точка бесконечность будет существенно особой, то чем она будет для функции $f(z)=1/\sin z$? Когда я ответил, что также существенно особой, было сказано, что это неверно.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[мат-ламер]

KonstantinKan в сообщении #581919 писал(а):

Когда я ответил, что также существенно особой, было сказано, что это неверно.

Предела в бесконечности обе функции не имеют, однако.

[shwedka]

Воспользуйтесь легко доказываемым и присутствующим в учебниках фактом. Для того, чтобы точка была существенно осбой, необходимо и достаточно, чтобы в любой ее окрестности множество значений было всюду плотным.

[ewert]

shwedka в сообщении #582077 писал(а):

Для того, чтобы точка была существенно осбой, необходимо и достаточно, чтобы в любой ее окрестности множество значений было всюду плотным.

Это неверно, т.к. пропущено одно слово. Именно это слово и нужно угадать (остальные не нужны), чтобы ответить на вопрос ТС.

[nnosipov]

Да, действительно, именно этого слова достаточно, чтобы понять, почему ответ ТС был неверен.

[ex-math]

Это казуистика. Особую точку, являющуюся предельной для полюсов, обычно причисляют к существенно особым, хоть она и не является загаданное слово особенностью.

[nnosipov]

ex-math в сообщении #582145 писал(а):

обычно причисляют

Я давно не заглядывал в учебники по ТФКП, может быть и так (хотя мне кажется иначе). Здесь нужны ссылки на определения в конкретных учебниках.

[ewert]

ex-math в сообщении #582145 писал(а):

Особую точку, являющуюся предельной для полюсов, обычно причисляют к существенно особым,

Сильно вряд ли хоть где-то. В конце-то концов основное определение существенно особой точки даётся через ряд Лорана (некоторые любят, наоборот, через предел, но это некоторое извращение). Ну а тут какой уж ряд Лорана; да и пределы особого смысла не имеют.

[ex-math]

Как раз потому, о чем упомянула shwedka -- для таких точек остается справедливой теорема Сохоцкого.

Конечно, назвать ее существенно особой без оговорок не совсем хорошо, но без оговорок сказать, что ответ неверен -- немногим лучше.

[ewert]

ex-math в сообщении #582522 писал(а):

для таких точек остается справедливой теорема Сохоцкого.

Теорема Сохоцкого -- не более чем теорема, и на классификацию никак не тянет.