Изоморфность колец функций

[xmaister]

Добрый день! Пусть $G$- график непрерывной функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Нужно найти все такие $f$, что $C^{\infty}(G)\cong C^{\infty}(\mathbb{R})$. Подскажите пожалуйста, как это сделать?

[Профессор Снэйп]

А как понимать бесконечную дифференциремость функции из $G$ в $\mathbb{R}$?

[xmaister]

Это ограничения функций из $C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ на $G$

[Профессор Снэйп]

Ещё вопрос: функции из класса $C^\infty$ какие значения принимают: действительные, комплексные или ещё какие?

[xmaister]

Да, предполагаются, что везде из $C^{\infty}$ функции действительные.

[Профессор Снэйп]

А жаль.

Так бы для аналитических функций брали аналитическое продолжение на плоскость, ограничивали его на $G$ и вроде бы получался бы изоморфизм.

А так ничего не ясно...

[xmaister]

Достаточно ли для доказательства того, что $C^{\infty}(G)\not\cong C^{\infty}(\mathbb{R})$ для произвольной непрерывной $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ показать что ни для какого полиномиального $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $C^{\infty}(G)\not\cong C^{\infty}(\mathbb{R})$?

[Профессор Снэйп]

Что-то я не понял вопрос. Перечитайте ещё раз: после фразы "ни для какого полиномиального $g$" идёт утверждение, которое от $g$ никак не зависит.

[xmaister]

Я имел ввиду график того полиномиального отображения $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. А будет ли изоморфно $C^{\infty}(G_1)$ и $C^{\infty}(\mathbb{R})$, если $G_1$- график функции $y=x$?

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #582282 писал(а):

Я имел ввиду график того полиномиального отображения $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. А будет ли изоморфно $C^{\infty}(G_1)$ и $C^{\infty}(\mathbb{R})$, если $G_1$- график функции $y=x$?

Вообще-то у Вас изначально $G$ - это график $f$

Конечно да, изоморфизм будет! И для полинома наверняка тоже будет.

-- Пт июн 08, 2012 21:34:00 --

Думаю, для начала (чтоб была симметрия) стоит доказать следующее утверждение:

Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ принадлежит классу $C^\infty(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда существует $g \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, для которой $f = g \upharpoonright \mathbb{R}$.

[xmaister]

Нашел, что для графика $G$ функции $y=|x|$ кольца $C^{\infty}(G)$ и $C^{\infty}(\mathbb{R})$ не изоморфны. А можете указать изоморфизм, если в качестве $G$ брать график $y=x$?

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #582918 писал(а):

А можете указать изоморфизм, если в качестве $G$ брать график $y=x$?

Дык там же всё линейно

Если честно, то... интуиция мне говорит, что могу. Но глубоко вникать в детали и проверять всё досконально, извините, лень

Предложу такое соответствие. Пусть $f$ - функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, принадлежащая классу $C^\infty$. Сопоставим ей функцию $f^\ast$ из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$, задаваемую формулой $f^\ast(x,y) = f(x)$. Тогда $f^\ast \in C^\infty$. Пусть $g = f^\ast \upharpoonright G$, где $G$ - график линейной функции. Тогда соответствие $f \mapsto g$ является изоморфизмом.

Не уверен, что здесь нет ошибки, но по внутренним ощущениям её нет

-- Вс июн 10, 2012 15:58:08 --

xmaister в сообщении #582918 писал(а):

Нашел, что для графика $G$ функции $y=|x|$ кольца $C^{\infty}(G)$ и $C^{\infty}(\mathbb{R})$ не изоморфны.

А можно посмотреть на доказательство неизоморфности? Интересно!

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #582934 писал(а):

А можно посмотреть на доказательство неизоморфности?

Преподаватель показал такое доказательство:
Пусть $G$- график $y=|x|$. Положим

$$\varphi_1(x,y)=\frac{x+y}{2}=\begin{cases}x,&\text{если } (x,y)\in G,x\ge 0\\0,&\text{если } (x,y)\in G,x< 0\end{cases}$$

$$\varphi_2(x,y)=\frac{x-y}{2}=\begin{cases}x,&\text{если } (x,y)\in G,x\le 0\\0,&\text{если } (x,y)\in G,x> 0\end{cases}$$

Лемма: Пусть $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, тогда для функции $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ доопределяемой по непрерывности в нуле имеем $g\in C^{\infty}(\mathbb{R})$
Доказательство: При $x\ne 0$ имеем $f(x)-f(0)=\int\limits_{0}^{x}f'(y)dy=\int\limits_{0}^{x}f'(tx)xdt$, тогда $g(x)=\int\limits_{0}^{1}f'(tx)dt$. А значит $g(x)$ доопределяется в нуле до бесконечно дифференцируемой.

Лемма: Всякая $f\in C^{\infty}(G)$ представима в виде $f=f_1\varphi_1+f_2\varphi_2+c,f_1\in C^{\infty}(G),f_2\in C^{\infty}(G),c=f(0,0)$.
Доказательство: Пусть $g_1(x)=f(x,x)-c,g_2(x)=f(x,-x)-c$. Так как $g_1(0)=g_2(0)=0, g_1\in C^{\infty}(\mathbb{R}), g_2\in C^{\infty}(\mathbb{R})$. Положим, что $g_1(x)=xG_1(x), g_2(x)=xG_2(x), G_1\in C^{\infty}(\mathbb{R}), G_2\in C^{\infty}(\mathbb{R})$. Тогда $f_1(x,y)=G_1(x), f_2(x,y)=G_2(x)$- искомые функции.
Предположим теперь, что существует изоморфизм $\tau :C^{\infty}(G)\to C^{\infty}(\mathbb{R})$. Положим, что $\psi_j=\tau (\varphi_j)\in C^{\infty}(\mathbb{R}), j=1,2$. Тогда будем иметь $\psi_1\psi_2=\tau (\varphi_1\varphi_2)=0$ и $U_j=\operatorname{Int}\operatorname{supp}\psi_j, j=1,2$. Положим, что $U_1\cap U_2\ne\varnothing$. Тогда существует отрезок $[a,b]\in U_1\cap U_2$, $a<b$. Т.к. $[a,b]\subset\operatorname{supp}\psi_1$ и $[a,b]\subset\operatorname{supp}\psi_2$, то множества точек $A_j=\{x\in [a,b]|\psi_j(x)=0\},j=1,2$- нигде не плотны в $[a,b]$, а значит найдётся такая точка $x\in [a,b]$, что $\psi_1(x)\ne 0,\psi_2(x)\ne 0$. Это доказывает, что $U_1\cap U_2=\varnothing$. Существует такая $x_0\in\overline{U_1}$, что в любой окрестности $x_0$ существует интервал, для которого $\psi_1(x)=0$, для любого $x$ из этого интервала, но т.к. $\overline{U_1}\cap U_2=\varnothing$, то $\psi_2(x_0)=\psi_2'(x_0)=\ldots =0$. Т.к. всякая $f\in C^{\infty}(G)$ представима в виде $f=f_1\varphi_1+f_2\varphi_2+c,f_1\in C^{\infty}(G),f_2\in C^{\infty}(G),c=f(0,0)$, то всякая $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ представима в виде $f=g_1\psi_1+g_2\psi_2+c,g_1\in C^{\infty}(\mathbb{R}),g_2\in C^{\infty}(\mathbb{R})$. Но так нельзя представить функцию $f(x)\equiv x$, т.к. $f'(x_0)=1$. Противоречие.
Мне не совсем ясна суть доказательства. Какие ещё не изоморфности можно таким способом доказать?

[xmaister]

А вообще, в какой литературе можно было бы ознакомится с кольцами непрерывных функций? Интересно, какие топологические свойства пространств $X$ и $Y$ сохраняются, если $C(X)\cong C(Y)$?

[Профессор Снэйп]

Что означают $\varphi_1$ и $\varphi_2$ во второй лемме?