Замкнутое, выпуклое, огранич множ. слабо замкнуто?

[Nimza]

Если $X$ --- замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в рефлексивном банаховом пространстве (например, в гильбертовом), следует ли отсюда, что $X$ слабо замкнуто?

[Nemiroff]

Ну да. Причем ограниченность не нужна. Скорее всего, даже рефлексивность не нужна, достаточно выпуклости и замкнутости.

[Nimza]

Ничего себе, откуда это следует?

[Nemiroff]

Это теорема кого-то там. Не Банаха, но тоже кого-то из великих.
Смотрите, компактное и замкнутое выпуклые множества можно строго отделить функционалом. Значит ваше множество можно строго отделить от точки, не лежащей в множестве (так как одноточечное - компакт). А значит, для любой точки, не лежащей в множестве, существует слабая окрестность, также не лежащая в множестве. Значит, дополнение слабо открыто.

[Padawan]

Nemiroff уже все объяснил, но все же Канторович, Акилов Функцинальный анализ гл. III, $\S$3, теорема 2.

[Nimza]

Спасибо, очень благодарен.

[Nimza]

А можно что-нибудь сказать про слабую* замкнутость такого множества?

[lyuk]

Если вы говорите о слабой* замкнутости, то вопрос имеет смысл только для множеств в сопряженном пространстве.
Сформулируйте поточнее вопрос.

[Nimza]

Пожалуйста, $X$ --- сопряжённое к нормированному пространству. $M$ --- выпуклое подмножество $X$. Совпадают ли его слабое и слабое* замыкания?

[lyuk]

По теореме Мазура (геометрическая форма теоремы Хана-Банаха) для выпуклого множества в топологическом векторном пространстве его слабое замыкание совпадает с замыканием. Поэтому нет смысла говорить о слабом замыкании множества $M$. Т.о. нет смысла спрашивать о совпадении слабого и слабого* замыканий, а есть смысл спрашивать о совпадении замыкания и слабого* замыкания.

Для полурефлексивного пространства (это когда второе сопряженное как векторное пространство совпадает с самим пространством) слабая и слабая* топологии на сопряженном пространстве совпадают. Поэтому и на ваш вопрос ответ положительный.

Если же $X^{**}\ne X$ (т.е. $X$ не полурефлексивное), то для произвольного $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ его ядро слабо* замкнуто, но не замкнуто.

[Oleg Zubelevich]

lyuk в сообщении #582060 писал(а):

Если же $X^{**}\ne X$ (т.е. $X$ не полурефлексивное), то для произвольного $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ его ядро слабо* замкнуто, но не замкнуто.

а как ядро непрерывного функционала может не быть замкнуто?

[lyuk]

Ядро функционала $x^{**}\in X^{**}\setminus X$ -- замкнуто, но не слабо* замкнуто.

[Nimza]

Спасибо! А не подскажете где найти хоть какой-нибудь список полурефлексивных пространств? Или можно как-то легко проверять это? Например, интересует, будет ли таковым $C^{*}[0,1] = BV[0,1]$. Рефлексивным оно, понятно, не будет.

[lyuk]

Можна посмотреть критерий полурефлексивности. Например, Х.Шефер ТВП (с.183).

Точнее, если у вас множество в пространстве $C^*[0,1]$, то нужна полурефлексивность $C[0,1]$. Сопряженные пространства поищите в Р.Эдвардс ФА.

[Nimza]

Спасибо за ссылки.