Топологические векторные пространства[2 вопроса]

[AD]

Padawan в сообщении #581075 писал(а):

ограничен в некоторой окрестности нуля

А ограниченный оператор - это другое, это который каждое ограниченное множество переводит в ограниченное, а ограниченное - это которое по всем нормам ограничено (это когда топология задана семейством [пред]норм). Пространство нормируемо тогда и только тогда, когда в нем существует ограниченное открытое множество. Я ничего не путаю? Или этот наш Хелемский опять сам все определения придумал?

-- Вт июн 05, 2012 18:47:37 --

Padawan в сообщении #581075 писал(а):

Возьмем строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространств $\mathbb R^n$.

Вот это по-нашему

[lyuk]

1. Индуктивный предел пространств $\mathbb R^n$ -- пространство $R^\infty$.

2. По теореме Дьедоне-Банаха произвольная сходящаяся последовательность в $R^\infty$ содержится в каком-то допредельном пространстве.

3. Теперь пусть $x_n\to x_0$ и $ x_0\not\in {\rm span}(x_n:n\in \mathbb N)$. Дополним систему $(x_n:n=0,1,\dots)$ до базиса Гамеля. Тогда естественный проективный функционал по вектору $x_0$ не будет непрерывным.

[Padawan]

lyuk
Утверждение 3 не понял. $\mathbb R^\infty$ не метризуемо, поэтому на языке последовательностей непрерывность функционала не описать, возможно в этом ошибка.
Я рассуждаю так-- ограничение любого функционала на любое допредельное пространство непрерывно, т.к. оно конечномерно. А отображение индуктивного предела в ЛВП непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно ограничение на любое допредельное пространство. Поэтому любой линейный функционал на $\mathbb R^\infty$ непрерывен.

[Oleg Zubelevich]

lyuk в сообщении #581662 писал(а):

Индуктивный предел пространств $\mathbb R^n$ -- пространство $R^\infty$.

а это верно?

[Padawan]

А что такое вообще пространство $\mathbb R^\infty$ ? Если тихоновское произведение, то неверно. А если индуктивный предел, то верно

[Oleg Zubelevich]

ну я привык, что это тихоновское произведение

[Padawan]

Я бы тихоновское произведение обозначил $\mathbb R^{\aleph_0}$ или на крайняк $\mathbb R^\omega$.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #581921 писал(а):

Я бы тихоновское произведение обозначил $\mathbb R^{\aleph_0}$

ok, а индуктивный предел тогда ${\aleph_0}\cdot\mathbb{R}$

[lyuk]

Утверждения 1. и 2. -- это аргументация того, почему на $\mathbb R^\infty$ каждый линейный функционал непрерывен.

Утверждение 3. - это построение неограниченого линейного функционала, которое не работает в $\mathbb R^\infty$ .