Принадлежность пространству Соболева

[Misorra]

Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче:

При каких $\alpha$ функция $u(x,y) = |\ln(x^2 + y^2)|^\alpha$ пространству $H^1(\Omega)$, если $\Omega = B^2_{\frac12}(0)$

Ясно, что нужно проверить принадлежность пространству $L_2(\Omega)$ самой функции $u(x, y)$ и ее обобщенных производных первого порядка. Непонятно, как проверить существование интеграла

$$\int\limits_{\Omega} |\ln(x^2 + y^2)|^{2 \alpha} \, dx dy$$

Понятно, что одномерный интеграл в нуле существовать не будет при любой (неотрицательной) степени, но так ли это в $\mathbb{R}^2$?

[DLL]

Перейдите в полярные координаты.

[Misorra]

DLL
А дальше?

[Misorra]

При подстановке полярных координат особенность логарифма в 0 не проходит, как ранее было замечено для одномерного случая, а именно получаем необходимость проверять существование интеграла:

$$\int\limits_0^{\frac12} |\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \, d\rho$$

и затруднения вызывает оценка порядка стремления к бесконечности подынтегрального выражения.

[DLL]

Может подынтегральная функция ограничена в нуле?

[Misorra]

Угу,

$$\int\limits_0^{\frac12} |\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \, d\rho < +\infty$$

, тк $|\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \rightarrow 0$ при $\rho \rightarrow +0 $

Решение ясно и вопрос закрыт, спасибо за помощь.