2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Принадлежность пространству Соболева
Сообщение06.06.2012, 12:54 
Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче:

При каких $\alpha$ функция $u(x,y) = |\ln(x^2 + y^2)|^\alpha$ пространству $H^1(\Omega)$, если $\Omega = B^2_{\frac12}(0)$

Ясно, что нужно проверить принадлежность пространству $L_2(\Omega)$ самой функции $u(x, y)$ и ее обобщенных производных первого порядка. Непонятно, как проверить существование интеграла
$$\int\limits_{\Omega} |\ln(x^2 + y^2)|^{2 \alpha} \, dx dy$$
Понятно, что одномерный интеграл в нуле существовать не будет при любой (неотрицательной) степени, но так ли это в $\mathbb{R}^2$?

 
 
 
 Re: Принадлежность пространству Соболева
Сообщение06.06.2012, 14:30 
Аватара пользователя
Перейдите в полярные координаты.

 
 
 
 Re: Принадлежность пространству Соболева
Сообщение06.06.2012, 14:50 
DLL
А дальше?

 
 
 
 Re: Принадлежность пространству Соболева
Сообщение06.06.2012, 16:14 
При подстановке полярных координат особенность логарифма в 0 не проходит, как ранее было замечено для одномерного случая, а именно получаем необходимость проверять существование интеграла:
$$\int\limits_0^{\frac12} |\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \, d\rho$$
и затруднения вызывает оценка порядка стремления к бесконечности подынтегрального выражения.

 
 
 
 Re: Принадлежность пространству Соболева
Сообщение07.06.2012, 17:19 
Аватара пользователя
Может подынтегральная функция ограничена в нуле?

 
 
 
 Re: Принадлежность пространству Соболева
Сообщение07.06.2012, 18:19 
Угу, $$\int\limits_0^{\frac12} |\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \, d\rho < +\infty$$, тк $|\ln(\rho)|^{2 \alpha} \rho \rightarrow 0$ при $\rho \rightarrow +0 $

Решение ясно и вопрос закрыт, спасибо за помощь.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group