Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Продолжение
Теперь рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится ПСВ$_M$.
Наиболее критичными для сходимости такого треугольника является интервал в начале 1-ого ПСВm: 1, $p_{r+1}$, …, где $p_{r+1}$ – простое число с номером r+1. На данном интервале при r>2.треугольник Гильбрайта расходится (на рис.3 число «6» выделено жирным шрифтом). Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится ПСВ$_M$, сходится только по модулю $M=2^a$.
Если рассматривать сходимость треугольника Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$ кроме первого интервала, то треугольник Гильбрайта сходится на всех интервалах на основании теоремы 3, т.е левая сторона треугольника будет, кроме первого интервала, всегда состоять только из чисел 0 и 2.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

ПСВ по модулю $M=2^{\alpha}$ представляет собой последовательность
нечетных чисел, или я неправильно понял ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581813 писал(а):

ПСВ по модулю $M=2^{\alpha}$ представляет собой последовательность
нечетных чисел, или я неправильно понял ?

Да, все правильно!

[vorvalm]

Тогда в чем заключается сходимость такой ПСВ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581821 писал(а):

Тогда в чем заключается сходимость такой ПСВ ?

В левой стороне треугольника стоят только 2 и 0.

-- 07.06.2012, 16:10 --

Продолжение
Теперь рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена.
Указанную подпоследовательность можно разбить на два интервала. На первом интервале находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$. На втором интервале находятся числа ПСВ$_M$, сходимость которых исследовалась выше. Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$ расходился при r>2 из-за проблем, возникающих на интервале 1,…$p_{r+1}$ из-за большого расстояния $p_{r+1}-1$. В подпоследовательности натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, на данном интервале находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$, расстояния между которыми значительно меньше. Поэтому подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, сходится, если будет сходиться треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$.
В работе [1] была показана сходимость треугольника Гильбрайта для первых 346065536839 последовательных простых чисел. Таким образом, можно утверждать, что треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, сходится для r=346065536839 шагов решета Эратосфена.
Однако, если рассматривать сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, состоящая из N чисел, то такого большого числа шагов решета Эратосфена может и не понадобиться. Если выбрать r так, что $p_r$≤ √N < $p_{r+1}$, то оставшиеся числа будут совпадать с множеством всех просых чисел p, таких, что √N<p≤N (Бухштаб). Например, если N=1000000 и √N=1000. тогда по таблице простых чисел найдем $p_r=997$ и $p_{r+1}=1009$, r=158, т.е. для получения подпоследовательности натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, состоящей из миллиона простых чисел достаточно 158 шагов.
Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Что понимать после слов "Продолжение" ?...Теоремы 3 ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582010 писал(а):

Что понимать после слов "Продолжение" ?...Теоремы 3 ?

Нет, это просто продолжение темы. В сообщении рассматривается сходимость треугольника Гильбрайта, когда в основании его находится подпоследовательность, полученная после r шагов решета Эратосфена.

[vorvalm]

Что такое "левая сторона" $\Delta$ Гильбрайта ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581821 писал(а):

Тогда в чем заключается сходимость такой ПСВ ?

Хочется уточнить. В начале темы было введено понятие сходимости треугольника Гильбрайта. Напомню его.
Введем следующие обозначения для элементов треугольника Гильбрайта: $P_i$ – числа в основании треугольника, под строкой $P_i$ находится строка элементов треугольника $A_{1 i-1}=P_i- P_{i-1}$, ниже находится строка элементов треугольника $A_{2 i-1}=|A_{1 i-1}- A_{1 i-2}|$ и.т.д.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находятся $P_0=2, P_1=3$, и далее нечетные числа с возможными пропусками (1). Тогда для того, чтобы элементы левой стороны треугольника $A_{ii-1}=1$, требуется, чтобы элементы $A_{ii}$ = 0 или 2. Назовем треугольник Гильбрайта, у которого $A_{ii}$ = 0 или 2 сходящимся. Положим четное число $A_{i i} =2K_i$, тогда треугольник Гильбрайта будет сходиться, если $K_i $≤1.
Понятие сходимости треугольника Гильбрайта с основанием ПСВ введено по аналогии, т.е в этом случае треугольник будет сходящимся, если элементы $A_{ii}$ равны 0 или 2. Хотя ПСВ конечно отличается от последовательности (1). Это сделано для того, чтобы бы в дальнейшем исследовать сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого лежит подпоследовательность натуральных чисел, получаемая после r шагов решета Эратосфена.

-- 08.06.2012, 10:00 --

vorvalm в сообщении #582148 писал(а):

Что такое "левая сторона" $\Delta$ Гильбрайта ?

Это первые элементы каждой строки треугольника Гильбрайта, за исключением его основания.

[vorvalm]

Конечно, автор вправе обозначать понятия, применяемые в его теме своими именами,
но когда речь идет о строках таблицы, то по правилам табуляции должны быть и колонки.
Понятие " сторона" - многозначное.
Далее, очень трудно воспринимается понятие сходимости $\Delta$ Г.
С одой стороны вы требуете равенство 0 или 2 элементов $A_{i\;i}$,
а с другой стороны - равенство 1 элементов $A_{i\;i-1}$.
Как это понимать ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582186 писал(а):

Конечно, автор вправе обозначать понятия, применяемые в его теме своими именами,
но когда речь идет о строках таблицы, то по правилам табуляции должны быть и колонки

Спасибо! Там есть строки и колонки, просто в данном случае индексы совпадают.

Цитата:

Далее, очень трудно воспринимается понятие сходимости $\Delta$ Г.
С одой стороны вы требуете равенство 0 или 2 элементов $A_{i\;i}$,
а с другой стороны - равенство 1 элементов $A_{i\;i-1}$.
Как это понимать ?

Пример
P0=2 P1=3 P2=5 P3=7 P4=11
A10=1 A11=2 A12=2 A13=4
A21 =1 A22=0 A23=2
A32=1 A33=2
A43=1
Таким образом, при сходимости треугольника все элементы Ai i-1=1, а Aii=0 или 2. Сходимость треугольника (Aii=0 или 2) для того и нужна, чтобы обеспечить Ai i-1=1.

[vorvalm]

Но в строке $A_{10}$ есть элемент $A_{13}=4$ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582244 писал(а):

Но в строке $A_{10}$ есть элемент $A_{13}=4$ ?

Нет $A_{10}$ - это элемент, а не строка. Все элементы $A_{ij}$ находятся в i-ой строке. Элементы $A_{10}$ и $A_{13}$ находятся в 1-ой строке.

[vorvalm]

Хорошо, но все-таки $A_{13}=4.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582283 писал(а):

Хорошо, но все-таки $A_{13}=4.$

А при чем тут А13? Оно не влияет на сходимость. Для сходимости требуется, чтобы А11, А22, А33,...были равны 0 или 2.