Задача на формулу Байеса

[Donald Capacine]

Здравствуйте, друзья!
Помогите, пожалуйста, разобраться.
Есть задача:
"Вася побывал в опасном месте, где мог с вероятностью $0.8$ заболеть. Вася прошел обследование в двух клиниках. Известно, что первая клиника выявляет заболевание (если оно есть) с вероятностью $0.5$ (и не выявляет, если заболевания нет), а вторая клиника выявляет заболевание с вероятностью $0.75$. Клиники работают независимо друг от друга. С какой вероятностью Вася заболел, если ни одна из клиник заболевание не обнаружила".

Ясно, что задача на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Но что-то не вытанцовывается...
Итак, пусть событие $A$ состоит в том, что Вася заболел, а события $B_1$, $B_2$ - болезнь обнаружена в первой или второй клиниках соответственно.
Тогда $P(B_1 | A)=0.5$, $P(B_2|A)=0.75$. По формуле полной вероятности $P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)$.
Но ведь $P(B_i)$ нам неизвестны. Да и найти нужно, вообще, $P(A| \overline{B_1})+P(A| \overline{B_2})$
Что делать?

[gris]

0,5 и 0,75 это вероятности того, что соответствующая клиника верно ставит диагноз.
Надо находить полную вероятность не того, что Вася заболел, а того, что обе клиники поставят "здоров".
То есть или обе поставят верный диагноз, если он здоров, или обе ошибутся, если он болен.
А уж потом Байес для гипотезы, что Вася болен.

[Donald Capacine]

gris
Я Вас не вполне понял. Вы говорите, что я неверно интерпретирую данные в задаче вероятности?
Но в задаче подчеркнуто, что клиники выявляют заболевание только, если оно есть (а если его нет, клиника "никогда" не скажет, что "Вася" болен!)
Так что именно $P(B_i|A)=...$.

Пожалуйста, скажите конкретнее, как бы Вы стали делать то, что предложили.

[gris]

Вы написали, что первая клиника с вероятностью 0,5 выявляет заболевание, если оно есть, и не выявляет, если его нет. То есть это событие, состоящее из двух подсобытий, которое состоит в том, что клиника не ошибается.
А что является дополнительным событием? То, что клиника выявляет заболевание, когда его нет, и не выявляет, когда оно есть. То есть ошибается. Вероятность этого события тоже 0,5. Сумма 1.
А Вы, вероятно, посчитали, что 0,5 это вероятность выявления имеющейся болезни, а вероятность невыявления болезни у здорового человека тоже 0,5. То есть клиника не ошибается. Ни первая, ни вторая. Ну тогда достаточно одного диагноза "здоров", чтобы Вася былболен с вероятностью 0.
Но клиники ошибаются.

[Donald Capacine]

gris

Цитата:

То, что клиника выявляет заболевание, когда его нет

Вот я именно об этом и говорю. По условию, клиника не может "выявить" заболевание, когда его нет!! Вероятность этого события равна нулю!

Цитата:

А Вы, вероятно, посчитали, что 0,5 это вероятность выявления имеющейся болезни, а вероятность невыявления болезни у здорового человека тоже 0,5.

Да как раз же наоборот!
$0.5$ - это вероятность выявления имеющиейся болезни, соответственно $1-0.5$ - вероятность невыявления болезни у больного человека! Понимаете меня?

Сбивает с толку, да?

[gris]

Нет, не сбивает. Но тогда вероятность сказать болен здоровому равна 0, а вероятность сказать здоров здоровому 1.
То же и у второй клиники.
Тогда в чём проблема?
Находите полную вероятность того, что обе клиники скажут "здоров".

[Donald Capacine]

gris
Как?
Пусть $B_1$ - первая клиника сказала "болен",
Пусть $B_2$ - вторая клиника сказала "болен"
$A$ - Вася болен .
Имеем $P(B_1|A)=0.5$, $P(B_2|A)=0.75, P(A)=0.8$
Еще имеем $P(B_1| \bar A)=0$, $P(B_2| \bar A)=0$.

[gris]

Если Вася болен, то клиники независимо скажут "здоров" с вероятностями 0.5 и 0,25. Вместе 0,125.
Если Вася здоров, то клиники независимо скажут "здоров" с вероятностями 1 и 1. Вместе 1.
Полная вероятность равна
По условию обе клиники сказали здоров. А Вы ищете зачем-то вероятность того, что они выявили заболевание.

[Donald Capacine]

gris
Хорошо. Пусть событие $Z$ состоит в том, что обе клиники сказали "здоров". Событие $A$ - Вася болен.
Тогда $P(Z)=P(Z|A) \cdot P(A) + P(Z| \bar A) \cdot P( \bar A)=0.125 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.2 = 0.1+0.2=0.3$
Но найти-то нужно $P(A|Z)$. Применяем формулу Байеса: $P(A|Z)=\frac{P(Z|A) \cdot P(A)}{P(Z)}$.
Логически вроде верно. Большое спасибо!

[gris]

Ну да. А по моей интепретации получается, что
Если Вася болен, то клиники независимо скажут "здоров" с вероятностями 1/2 и 1/4. Вместе 1/8.
Если Вася здоров, то клиники независимо скажут "здоров" с вероятностями 1/2 и 3/4. Вместе 3/8.

Получаем, что ответ у Вас будет 0,333. А у меня 0,428.

Да, по Вашему получается лучше За счёт того, что вероятность ошибки по этой болезни меньше, чем у меня.

[Donald Capacine]

gris
Большое спасибо за интересное обсуждение!

[CaptainPlanet]

Господа, а мне кажется, что gris-таки прав. События "Обе клиники дали диагноз "здоров", "Обе клиники дали диагноз "болен", "Первая клиника дала диагноз "болен", а вторая - "здоров", "Первая клиника дала диагноз "здоров", а вторая - "болен" - это же полная группа, так ведь?
В интерпретации gris сумма вероятностей этих событий - 1, а в интерпретации Donald Capacine - 1.05, если я правильно посчитал.

[Евгений Машеров]

Прежде обращения к Байесу соедините диагнозы обеих клиник в одно событие. То есть по Байесу вы должны рассчитать вероятности двух событий - Вася здоров и Вася болен, но обе клиники этого не заметили. Вероятность последнего вычисляется, как вероятность совместного наступления независимых событий.

[gris]

CaptainPlanet, на самом деле наши разногласия с ТС в интерпретации лежали не в математической, а в медицинской плоскости. Конечно, ситуация упрощена и в реальной жизни... ну да это врачам виднее.

Бывают болезни, которые диагностируют по весьма специфическому именно для данной болезни симптому. У здорового человека он никогда не проявляется, а у заразившегося начинает проявляться очень слабо в течение некоторого периода. Поэтому по данной болезни клиники однозначно дадут здоровому человеку диагноз здоров, а у больного могут и не обнаружить, скажем, специфических антител в крови и тоже поставить "здоров", если у них такая методика. Это интерпретация ТС.

Обычно же болезни имеют кучу симптомов, сходными с другими болезнями или состояниями. Тут ошибки первого и второго рода сливаются в одну, и это моя интерпретация. Насколько это близко к реальной практике — один 2w_ink ведает.

Насчёт полной группы.
В любой интерпретации $ab+a(1-b)+(1-a)b+(1-a)(1-b)=1$