Хитрая группа

[Dave]

Пусть $(G,+)$ - нетривиальная (состоящая более чем из одного элемента) абелева группа. На ней задана унарная операция $[\cdot] \colon G \to G$, удовлетворяющая тождествам:
1) $\forall x \in G \colon x+[-x]=[x]$;
2) $\forall x, \, y \in G \colon x+[[y]-x]=y+[[x]-y]$.
Кроме этого, известно, что в $G$ нет подгрупп, отличных от самой $G$, замкнутых относительно операции $[\cdot]$.
Докажите, что
1) $G$ бесконечна;
2) Если $nx=[0]$, где $n \in \mathbb N$, $x \in G$, $0$ - нейтральный элемент $G$, то $n=1$;
3*) Если $nx=[ny]$, где $n \in \mathbb N$, $x, \, y \in G$, то $n \in \{1,2\}$.

$\hline$
* - задача повышенной трудности.

[Профессор Снэйп]

Целые сутки уже думаю, не то, чтоб напряжённо, а так, время от времени возвращаюсь. Первый пункт решил, остальные пока непонятно, как решать.

Обозначу несколько очевидных следствий из условия.

1) $0 \neq [0]$, так как нет замкнутых подгрупп.
2) $[[y]] = y + [[0] - y]$, в частности, $[[[0]]] = [0] + [0]$.
3) $x \neq y \Rightarrow [x] \neq [y]$.
4) В $G$ нет инволюций (то есть ненулевых $x$ со свойством $x + x = 0$).
5) Если $G$ конечна, то $[]$ - биекция. В частности, найдётся $y_0$ со свойством $[y_0] = 0$. Для этого $y_0$ справедливо $[x] - y_0 = [[x]-y_0]$.

Из 1 и 5 сразу следует, что $G$ не может быть конечной. Остальные пункты пока под вопросом.

Вообще, было бы интересно посмотреть на пример группы с такой операцией. Есть какие-нибудь естественные примеры?

[Профессор Снэйп]

Уже забыл, как выводил инъективность (пункт 3). Вчера казалось очевидным

[Dave]

(Подсказка)

Рассмотрите последовательность $x_1=0$, $x_{n+1}=[x_n]$. Докажите, что для любых $n, m \in \mathbb N$ выполняется тождество:

$$[x_n-x_m]=x_{n+m}-x_m.$$

Из этого тождества выведите формулу для $x_{nm}$, выразив этот элемент через члены последовательности с меньшими индексами.
На основании двух доказанных тождеств постройте подгруппу, замкнутую относительно операции $[\cdot]$. Исследуйте её на предмет равенства элементов. Когда докажете п.1 и 2 и дойдёте до п.3, не ругайте сильно .
Утверждение 100% верное, а о сложности я честно предупредил.

[Профессор Снэйп]

Ок, ну а всё-таки:

Профессор Снэйп в сообщении #580701 писал(а):

Вообще, было бы интересно посмотреть на пример группы с такой операцией. Есть какие-нибудь естественные примеры?

-- Ср июн 06, 2012 08:01:55 --

Вдруг таких операций на группах вообще не существует?

[Dave]

Такие группы существуют точно. Пример получите самостоятельно, следуя моим подсказкам. Он у Вас возникнет сам собой, я бы даже сказал, что это часть решения.

(Подсказка №2)

Формула для $x_{nm}$ не должна содержать операции $[\cdot]$ вообще. Она очень просто выводится из предыдущей формулы (если Вы её доказали, конечно).

[Профессор Снэйп]

Ну хорошо, сформулирую вопрос по другому: откуда задача?

[Dave]

Профессор Снэйп в сообщении #581381 писал(а):

Ну хорошо, сформулирую вопрос по другому: откуда задача?

Сам придумал.