Два уравнения с четырьмя неизвестными. Сколько решений ?

[Charlie]

Система уравнений:

$x_1 \cdot x_2 = y_1 \cdot y_2$

$x_1 + x_2 = y_1 + y_2$

есть ли решения кроме:
$x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$
$x_1 = y_2$, $x_2 = y_1$

?

[AV_77]

Тут про формулы Виета можно вспомнить.

[ewert]

Из системы очевидно следует, что $(x_1-x_2)^2=(y_1-y_2)^2$, т.е. $x_1-x_2=\pm(y_1-y_2)$, что в сочетании со вторым из исходных уравнений...

[Charlie]

ewert в сообщении #580882 писал(а):

Из системы очевидно следует, что $(x_1-x_2)^2=(y_1-y_2)^2$, т.е. $x_1-x_2=\pm(y_1-y_2)$, что в сочетании со вторым из исходных уравнений...

как вы первое равенство получили ?

у меня вот что вышло:
$x_2^2 - x_2(y_1 + y_2) + y_1y_2 = 0$
если $y_1$ и $y_2$ принять известными положительными константами то дискриминант получится отрицательным и комплексные корни $x_2$

забыл написать что по условию задачи известна сумма $x_1 + x_2$


я походу и в теорему Виета не вьеду:

$ax^2 + bx + c = 0$
$x^2 + x\frac{b}{a} +\frac{c}{a} = (x - g_1)(x - g_2)$
решаю
$g_1g_2 = \frac{c}{a}$
$- g_1 - g_2 = \frac{b}{a}$
получаю:
$(b - ag_2)g_2 = c$
- опять квадратное уравнение
________________________

-- Вт июн 05, 2012 01:31:30 --

пардон, спать нужно наверное

$(x_2^2 - y_2^2) = c(x_2 - y_2)$

[ewert]

Charlie в сообщении #580946 писал(а):

как вы первое равенство получили ?

Просто возвёл второе из исходных равенств в квадрат и вычел из него четыре первых.

[spaits]

ewert в сообщении #580953 писал(а):

Просто возвёл второе из исходных равенств в квадрат и вычел из него четыре первых.

И получили лишние корни.

[nnosipov]

spaits в сообщении #580964 писал(а):

И получили лишние корни.

Просто любопытно, где Вы их увидели?

[spaits]

Charlie в сообщении #580873 писал(а):

Система уравнений:

$x_1 \cdot x_2 = y_1 \cdot y_2$

$x_1 + x_2 = y_1 + y_2$

есть ли решения кроме:
$x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$
$x_1 = y_2$, $x_2 = y_1$

?

$x_1+x_2=-(y_1+y_2)$.

[nnosipov]

spaits в сообщении #581077 писал(а):

$x_1+x_2=-(y_1+y_2)$.

А это-то откуда взялось?

[spaits]

Если возвести в квадрат, как предлагал ewert, появится это лишнее уравнение.

[nnosipov]

spaits в сообщении #581097 писал(а):

Если возвести в квадрат, появится это лишнее уравнение.

А ewert так и делал?

[spaits]

ewert в сообщении #580953 писал(а):

Charlie в сообщении #580946 писал(а):

как вы первое равенство получили ?

Просто возвёл второе из исходных равенств в квадрат и вычел из него четыре первых.

Читайте.

[nnosipov]

spaits в сообщении #581100 писал(а):

Читайте.

Это Вы читайте. Он не просто возвёл в квадрат, он затем ещё и вычел кое-что. Вы разницы не замечаете?

[spaits]

nnosipov в сообщении #581102 писал(а):

Это Вы читайте. Он не просто возвёл в квадрат, он затем ещё и вычел кое-что. Вы разницы не замечаете?

И вычитание убрало лишние корни?

[Charlie]

$x_1 \cdot x_2 = y_1 \cdot y_2$ (1)

$x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = c$ (2)

$x_1 = c - x_2$ ; $y_1 = c - y_2$ --> подставляем в (1), получим:

$(c - x_2) x_2 = (c - y_2) y_2$

$(x_2^2 - y_2^2) = (x_2 - y_2)c$

как дальше решать полученное уравнение с двумя неизвестными ?

-- Вт июн 05, 2012 18:31:44 --

Charlie в сообщении #581169 писал(а):

$(x_2^2 - y_2^2) = (x_2 - y_2)c$

$(x_2 + y_2) (x_2 - y_2) = (x_2 - y_2)c$

$x_2 + y_2 = c$

-- Вт июн 05, 2012 18:36:42 --

отсюда следует что $x_2 = y_1$ и $y_2 = x_1$

это значит что

$x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$
$x_1 = y_2$, $x_2 = y_1$

единственные решения этого уравнения.

Правильно ?