Помогите решить задачу по теории вероятн. на комбинаторику

[dmitrii_cooper]

Найти вероятность того, что среди 6 выбранных наудачу цифр будут представлены ровно 3 различные.

В общем в числителе в принципе должны быть знакопеременные комбинации

Попытки решения(все неправильные):
1 попытка: цифры 0..9
Кол-во 6-разрядных чисел: C = $10^6$
Кол-во 6-разрядных c 3-мя различными цифрами – A
P(A) = A/C
Пусть D – количество всех 3-ых 6-значных цифр: 3^6
Кол-во 6-значных 3-ых (троичных) чисел с одной различной цифрой : 3
Кол-во 6-значных 3-ых чисел с 2-мя различными цифрами:
${C}_{3}^{2}\cdot ({C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{3}+{C}_{6}^{4}+{C}_{6}^{5})$ = 186
$P(A) = \frac{540}{{10^{6}}}= 0.054 $
Ответ: P = 0.054(%)
2-ая попытка
Способов выбрать 3 разные цифры ${C}_{10}^{3}$.
Пусть выбрали. К примеру, 1, 2, 3. Т.е. 112233 - подходящее число.

Перестановками можно получить ещё числа. Всего перестановок 6! При этом некоторые перестановки лишние - перестановки одинаковых цифр "не считаются".

Есть 3 варианта:
1. Все цифры встречаются по 2 раза. Напр. 112233.
2. Одна цифра встречается 4 раза. Напр. 111123.
3. Одна цифра 3 раза, одна 2 раза. Напр. 111223.

Количество всех перестановок уменьшится из-за "лишних" в каждом случае на:
1. (2!)3.
2. 4!
3. 3! 2!

Т.е. получилось, что число шестизначных чисел, содержащих ровно 2 разные цифры есть
${C}_{10}^{3}\cdot \frac{1}{(2!)^{3}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{3!\cdot 2!}}$

по опр. вероятность - это число, делённое на число всех шестизначных "чисел"
в результате получил: 0,0216

[Хорхе]

dmitrii_cooper в сообщении #578015 писал(а):

Т.е. получилось, что число шестизначных чисел, содержащих ровно 2 разные цифры есть
${C}_{10}^{3}\cdot \frac{1}{(2!)^{3}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{3!\cdot 2!}}$

Это неправильно.

Понятно, что множитель $C_{10}^3$ правилен и уместен. Дальше нам, фактически, надо посчитать количество сюръекций из шестиэлементного множества (позиций) в трехэлементное множество (цифр). Оно через формулу включения-исключения считается и равно с точностью до множителя $3!$ соответствующему числу Стирлинга второго рода.

[dmitrii_cooper]

Хорхе
я вас правильно понял, в результате получится:
$\frac{C_{10}^{3}\cdot S(6,3)}{10^6}$

[Хорхе]

Там, как я уже сказал, еще трифакториал в числителе, поскольку числа Стирлинга дают неупорядоченные разбиения, а нам важны упорядоченные: $112233$ и $221133$ различаются.

[dmitrii_cooper]

Хорхе
большое вам спасибо, достаточно логично и получается правдоподобный ответ

[мат-ламер]

Неужели всё так сложно? dmitrii_cooper. Ну и какой у Вас ответ получился? Я тут в уме решил, но боюсь показать полное своё невежество, поскольку ничего не понял в предыдущих постах.

-- Вт май 29, 2012 21:38:08 --

Я решал так. Трёхзначных чисел с разными цифрами ( 0 в начале допускается) - 720. Столько вариантов будет, если четыре повторяющиеся цифры стоят вначале. Также имеем 15 способов расставить две одиночные цифры. Всего 10800 вариантов из миллиона.

[Хорхе]

мат-ламер в сообщении #578108 писал(а):

Я решал так. Трёхзначных чисел с разными цифрами ( 0 в начале допускается) - 720. Столько вариантов будет, если четыре повторяющиеся цифры стоят вначале. Также имеем 15 способов расставить две одиночные цифры. Всего 10800 вариантов из миллиона.

А я тут ничего не понял, честно говоря :)

У меня получается $720\cdot 6\cdot 90$. Чуть больше, чем $ 10800$.

[TOTAL]

$$C_{10}^3 \cdot 540 = 64800$$

[мат-ламер]

Хорхе в сообщении #578148 писал(а):

мат-ламер в сообщении #578108 писал(а):

Я решал так. Трёхзначных чисел с разными цифрами ( 0 в начале допускается) - 720. Столько вариантов будет, если четыре повторяющиеся цифры стоят вначале. Также имеем 15 способов расставить две одиночные цифры. Всего 10800 вариантов из миллиона.

А я тут ничего не понял, честно говоря :)

Ерунду написал. Не учёл всех вариантов. Потом, после того как уже выключил компьютер, дошло, что количество вариантов равно количеству шестизначных чисел в троичной системе исчисления - $3^6$ , умноженное на количество вариантов выбора трёх различных цифр из десяти - 120. В предыдущем посту уже задача решена. (Хотя, смотрю, там чуть другое число).

[Shadow]

Сколько шестизначных чисел можно составить только из цифр 0,1,2?
$3^6$ Из них нужно вычесть составленные только из 2-х или 1 цифр.
$3^6-3\cdot 2^6$ И так как чисел 000000, 111111, 222222 отняли по 2 раза, их нужно добавить:
$3^6-3\cdot 2^6+3=540$ Согласен с TOTAL

[Хорхе]

(Оффтоп)

Два раза на 3! умножил.

[dmitrii_cooper]

кому интересно, правильный ответ оказался таковым:
$\frac{{}C_{10}^{3}*(3^6-C_{3}^{2}*(2^6-2)-3)}{10^6}=\frac{64800}{10^6}=0.0648$
всё-таки решение Хорхе не учитывает например вот такое число: 121323
в принципе тему можно закрывать

[Хорхе]

dmitrii_cooper в сообщении #579691 писал(а):

всё-таки решение Хорхе не учитывает например вот такое число: 121323

Все оно учитывает.