Топологические векторные пространства[2 вопроса]

[xmaister]

Пусть $X$- топологическое векторное пространство и $U$- произвольная окрестность нуля. Как доказать, что $X=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}nU$?

Пусть $X$- топологическое векторное пространство и $A:X\to X$- линейные оператор. Верно ли что если $\dim\operatorname{Im}A<\infty$, то $A$- непрерывен?

[Padawan]

xmaister в сообщении #580733 писал(а):

Пусть $X$- топологическое векторное пространство и $A:X\to X$- линейные оператор. Верно ли что если $\dim\operatorname{Im}A<\infty$, то $A$- непрерывен?

Может даже быть $\dim\operatorname{Im}A=1$ и $A$ будет разрывным.

[xmaister]

Padawan в сообщении #580735 писал(а):

Может даже быть и будет разрывным.

Можно пример?

[Padawan]

xmaister
Конструктивный пример не приведу. Но в любом бесконечномерном пространстве существуют же разрывные линейные функционалы (если и не в любом, то по крайней мере во многих). Пусть $a\in X$-- произвольный ненулевой вектор. Полагаем $Ax=f(x)a$.

[xmaister]

Padawan в сообщении #580739 писал(а):

в любом бесонечномерном пространстве существуют же разрывные линейные функционалы.

Я этого не знал. Подскажите, в какой книге можно посмотреть доказательство?

[g______d]

xmaister в сообщении #580744 писал(а):

Я этого не знал. Подскажите, в какой книге можно посмотреть доказательство?

В сепарабельном гильбертовом пространстве линейных непрерывных функционалов столько же, сколько элементов, т. е. континуум (теорема Рисса).

Разрывных функционалов больше, но то, что я знаю, зависимо от леммы Цорна. Рассмотрим базис Гамеля. Он имеет мощность континуум. И заметим, что любое отображение из этого базиса в $\mathbb C$ задает линейный функционал, и таких отображений гиперконтинуум.

Что такое базис Гамеля --- есть в Колмогорове и Фомине, например.

[Padawan]

По крайней мере в бесконечномерном нормированном пространстве всегда существует неограниченный линейный функционал. Берем базис Гамеля. Пусть $(e_n)_{n=1}^\infty$ -- бесконечная последовательность векторов базиса Гамеля. Можно считать, что $\|e_n\|=1$ для всех $n=1,2,\ldots$. Линейный функционал однозначано задается теми значениями, которые он принимает на базисных векторах. Функционал $f$ такой, что $f(e_n)=n$ будет неограниченным.

Вроде такое же построение работает в любом метризуемом топологическом векторном пространстве (бесконечномерном).

-- Пн июн 04, 2012 19:33:44 --

g______d в сообщении #580751 писал(а):

Рассмотрим базис Гамеля. Он имеет мощность континуум.

А почему?

[g______d]

Padawan в сообщении #580756 писал(а):

А почему?

По теореме Бэра о категории?

[Padawan]

g______d
Вроде можно утверждать, что их не может быть счетно. А почему сразу континуум? Если, конечно, принять континуум-гипотезу, то да.

[g______d]

Padawan в сообщении #580762 писал(а):

g______d
Вроде можно утверждать, что их не может быть счетно. А почему сразу континуум? Если, конечно, принять континуум-гипотезу, то да.

Да, согласен, я не знаю, можно ли без континуум-гипотезы.

[Oleg Zubelevich]

что-то мне так с налету не удается доказать, что в локально выпуклом пространстве существует неограниченный функционал

[ewert]

Ну если не накладывать допограничений, то контрпример (во всяком случае, для нормированных пространств) тривиален. Как сказал Padawan, берём любой неограниченный функционал, рассматриваем в качестве пространства его область определения -- и всё. Например, можно рассмотреть функционал, сопоставляющий каждой непрерывной функции её значение в нуле, а метрику на пространстве непрерывных функций задать какую-нибудь интегральную.

Правда, это пространство оказывается неполным. В полном же пространстве не уверен, что можно построить явный контрпример без гамелей и прочих аксиомвыборностей. В конце-то концов: если бы нам удалось найти линейное дополнение области определения того функционала до всего пространства, то -- вот он, контрпример; но, насколько я знаю, таковое нахождение конструктивно не получается. Да и вообще не припомню ни одного явного примера неограниченного оператора, действующего во всём пространстве (что, конечно, ничего не доказывает, но всё же).

Это что касается нормированного случая. Насчёт общего линейно-топологического -- сказать ничего не могу; подозреваю лишь, что и там с конструктивностью дело швах.

[Oleg Zubelevich]

Гипотеза: в любом бесконечномерном локально выпуклом пространстве существует неограниченный линейный функционал.

[AD]

Кстати, непрерывный и ограниченный - одно и то же ли? В случае операторов на ЛВП, говорят, разные вещи, а в случае функционалов?

[Padawan]

AD
Функционал на ТВП (на любом, не обязательно ЛВП) непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в некоторой окрестности нуля.

-- Вт июн 05, 2012 16:15:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #580888 писал(а):

Гипотеза: в любом бесконечномерном локально выпуклом пространстве существует неограниченный линейный функционал.

Нет, это неверно. Возьмем строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространств $\mathbb R^n$. Ограничение линейного функционала $f$ на любое $\mathbb R^n$ непрерывно. По свойствам индуктивного предела тогда непрерывен и сам $f$.