Уравнение Гросса-Питаевского для Бозе-конденсата

[Kamaz]

В теории бозе-конденсации широко применяется уравнение Гросса-Питаевского, описывающее в.ф. конденсата. Во всех работах, где оно применяется, пишется контактное взаимодействие между частицами. Если кто хорошо разбирается в этом вопросе, то скажите, можно ли его использовать при произвольном взаимодействии между частицами, а не только в контактном случае? Если нельзя, то почему? И где об этом почитать?

[Munin]

А где оно выводится? Какая-нибудь учебная или обзорная работа освещает её получение? Там же можно будет посмотреть условия, и попытаться их обобщить вместе с выводом.

[Kamaz]

собственно первое о чем я подумал имеенно об этом. Оригинальную работу Питаевского я заказал в библиотеке, пока не пришла. Собственно в ЛЛ9 есть об этом, но там буквально пара предложений, которые меня не успокаивают как обычно, хотелось бы подробнее, я надеялся тут на форуме есть кто-нить непосредственно работающий в теории бозе-конденсации..

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #580632 писал(а):

В теории бозе-конденсации широко применяется уравнение Гросса-Питаевского, описывающее в.ф. конденсата. Во всех работах, где оно применяется, пишется контактное взаимодействие между частицами. Если кто хорошо разбирается в этом вопросе, то скажите, можно ли его использовать при произвольном взаимодействии между частицами, а не только в контактном случае?

Если взаимодействие нелокально, то и уравнение получитсят нелокальное (интегро-дифференциальное вместо дифференциального). Т.е. получится нечто типа Гросса-Питаевского, но не оно в точности. Конечно, если конденсат достаточно "плавный", то это интегродифференциальное уравнение можно свести к чисто дифференциальному. Просто выносим $\psi$ из-под интеграла как медленно меняющийся множитель. Можно искать и поправки к этому приближению если $\psi$ под интегралом разложить в ряд вблизи точки максимума ядра интегрального оператора. Получатся дополнительные дифференциальные члены.

-- Пн июн 04, 2012 20:09:11 --

Kamaz в сообщении #580632 писал(а):

И где об этом почитать?

Чем читать лучше самому вывести. Это не сложно. Записываете вторично-квантованный гамильтониан а потом представляете пси-оператор как сумму нового пси-оператора и классического поля. Последнее как раз и есть конденсат.

[Kamaz]

Все правильно, я именно так себе все это и предствлял. Об интегродифференциальности я тоже в курсе. Понимаете, до меня дошло утверждение, что если взаимодействие неконтактное, то мы не можем писать Ур-ие ГроссПитаевского, типо контактность здесь принципиальна, она есть суть самого факта разделения на кондесатную и надконденсатную части. С чем я категорически не согласен. Но вот почитать не могу найти где.

-- Пн июн 04, 2012 20:49:16 --

Alex-Yu в сообщении #580749 писал(а):

Т.е. получится нечто типа Гросса-Питаевского, но не оно в точности.

но при этом смысл свой же оно не потеряет как уравнения на конденсатную (классическую) часть полного опетратора бозе-поля?

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #580760 писал(а):

Понимаете, до меня дошло утверждение, что если взаимодействие неконтактное, то мы не можем писать Ур-ие ГроссПитаевского, типо контактность здесь принципиальна, она есть суть самого факта разделения на кондесатную и надконденсатную части. С чем я категорически не согласен. Но вот почитать не могу найти где.

Да ну... Я когда-то делал работу про нанокапли жидкого гелия. Так у меня было именно нелокальное взаимодействие. И конденсат при этом прекрасно выделялся. Правда, ту работу я так и не доделал и, соотвественно, не опубликовал. Отвлекли другие дела, так работа и пропала. Да и бог с ней Впрочем, там действительно возникает некая проблема при нелокальном взаимодействии: преобразование Боголюбова (надо же надконденсатную часть от вида $\dots \psi\psi + \dots \psi^+\psi^+ \dots$ привести к виду $\dots\psi^+\psi$ и только потом варьировать по конденсату) модифицируется так, что "пробить" его до конца становится трудно. Но это хоть и трудная проблема, но вполне проходимая. В конце-концов "лобовым" разложением по системе ортогональных функций и дальше на компьютере численно. Впрочем, детали я уже не помню, более 10 лет прошло... Так что Вы уж сами разбирайтесь

[Kamaz]

Собственно в оригинальной работе Питаевского написано тоже самое:
"Мы будем считать, что потенциал является короткодействующим, а газ достаточно разряжен, т.е. что радиус действия потенциала много меньше расстояния между частицами. В этом случае можно вынести $\psi$-операторы из-под знака интеграла..."

хех.