Если заменить сложение, что станет с умножением?

[shwedka]

Руст писал(а):

Коммутативную, ассоциативную непрерывную операцию можно преобразованием привести к обычному сложению. Тогда дистрибутивность непрерывной операции по отношению к нему есть полугруппа линейных операторов, которая приводится к обычному умножению с соответствующим преобразованием g, который я записал в мультипликативной форме.

Каким преобразование Вы собираетесь 'приводить'. И при чем здесь непрерывность?? Казалось бы, разговоры идут о чистой алгебре.
Не могли бы Вы дать точную формулировку (уж доказательство сделало бы меня совсем счастливой) теоремы о приведении.

[RIP]

http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=4046
Подозреваю, что имеется в виду это.

[Руст]

Непрерывность тут важна. Операции с образующей "1"=a начнём сопоставлять отображение $R\to D$ 0-->"0", 1-->a, 2-->"a+a", n-->"a+a+a...+a", потом на рациональные и по непрерывности на действительные. Так получаем взаимно однозначное отображение непрерывное $g:R\to D$ в некоторую область D. Тогда $'a+b'=g(g^{-1}(a)+g^{-1}(b)).$
Вторую операцию учитывая дистрибутивность интерпретируем как линейные (точнее пока только аддитивные, но с учётом непрерывности линейные) операторы и получаем другую функцию, сопоставляющее умножение в образе.
Это в общих чертах, которую можно довести до нормального математического изложения.

[shwedka]

Все это хорошо, если с самого начала операция 'сложение' не допускает
$a+a+...a=0$ для ненулевого $a$,
иными словами, если исходная операция не делает из вещественных чисел группу со всеми элементами циклическими.

[Руст]

Да речь идёт об ассоциативных непрерывных операциях с сокращением $a+c=b+c \to a=b$
и с делением $\forall n, \ \forall a \ \exists b: \ b+b+...+b \ \ _{(n - times)}=a$
На самом деле делимость непрерывной операции на связном интервале можно доказать.
То, что вы говорите наличие кручения. Операция с кручением (сложение по модулю 1) возможна на окружности, на интервале приводит к противоречии с непрерывностью.