Если заменить сложение, что станет с умножением?

[Борис Лейкин]

Берём, значит, вводим операцию сложение, ну, например: $a \oplus b=a^2+b^2$.

Операция вычитание, обратная $a \oplus b=c , c \ominus b = a = \sqrt{c - b^2}$
Пример: $1 \oplus 2= 1^2+2^2= 5, 5 \ominus 1 = \sqrt{5-1}=2$

Нулевой элемент $a \oplus e=a, e=\sqrt{a-a^2}$
Пример: $1 \oplus e = 1, e = 0$, $2 \oplus e = 2, e = \sqrt{-2}=i \sqrt{2}$

Обратный элемент $a \oplus \bar{a}=e, \bar{a}=\sqrt{\sqrt{a-a^2}-a^2}$
Пример: $1 \oplus \bar{1} = 0, \bar{1}=\sqrt{-1}=i$, $2 \oplus \bar{2} = i \sqrt{2}, \bar{2}=\sqrt{\sqrt{-2}-4}$

$a$ и $b$ это числа, значит, комплексные.

Коммутативная: $a \oplus b=b \oplus a$

Неассоциативная: $(a \oplus b) \oplus c \neq a \oplus (b \oplus c)$

Вопрос, как бы сделать ещё операцию $a \otimes b$?
$ 2 \otimes 3 = 2 \oplus 2 \oplus 2 = 68, 3 \otimes 2 = 3 \oplus 3 = 18$ это легко, а вот как, например: $1 \otimes i$?
Чё то у меня никак не думается.

[незваный гость]

Не ассоциативна — это круто! Почему тогда называть это сложением? Это уже не групповая операция.

Борис Лейкин писал(а):

$ 2 \otimes 3 = 2 \oplus 2 \oplus 2 = 68$

А как насчет $ 2 \otimes 4$?!? 4 можно уже разбить на слагаемые разными способами. Вот тут-то и пригодилась бы ассоциативность, но нет ее.

Обратите внимание, что у Вас обратный элемент существует, но не единственный. Опять-таки, в силу потери ассоциативности.

P.S. Тут еще полезно задуматься вот над чем. Что такое 2? $ 1 \oplus 1$? А 3, 4…

[PAV]

Таки-видно, что слишком много базовых свойств операций не выполняется. Вряд ли это можно разумным образом определить.

[Руст]

Я могу ещё представить не коммутативное сложение. Однако не ассоциативное нет. В этом случае произведение не определяется через сложение по вашей схеме через повторные сложения. У вас нет и нейтрального элемента по сложению, в неассоциативном случае это экзотика. Отсутствие нейтрального элемента по сложению это не такая уж беда (в тропической математике он может отсутствовать) по сравнению с отсутствием ассоциативности . В этом случае по видимому не имеет смысла говорить о наличии дистрибутивности - основного свойства алгебр с двумя операциями - сложения и умножения.

[незваный гость]

Борис Лейкин писал(а):

Нулевой элемент $a \oplus e=a, e=\sqrt{a-a^2}$

Да и нулевой элемент у Вас интересный: зависит от того, с чем складываете. То есть, не универсальный! Какому же из них, нулей, должно быть равно $a + \overline a$?!?

[Борис Лейкин]

Извините, у меня по-прежнему что-то не думается.

незваный гость писал(а):

А как насчет $ 2 \otimes 4$?!? 4 можно уже разбить на слагаемые разными способами. Вот тут-то и пригодилась бы ассоциативность, но нет ее.

Чё то я не понял про 4 (чего разбивать то) . Всё также легко, вроде: $ 2 \otimes 4=2 \oplus 2 \oplus 2 \oplus 2=4628$.

незваный гость писал(а):

P.S. Тут еще полезно задуматься вот над чем. Что такое 2? $ 1 \oplus 1$? А 3, 4…

Ну, я решил, что натуральные числа даны сразу все, а остальные из них получаются.
$1 \oplus 1=1^2+1^2=2$, так, дальше, 3 что такое?
Всё. Понял.
Значит, в начале даны не все натуральные числа, а только , допустим 1.
$1 \oplus 1=1^2+1^2=2, 1 \oplus 2=5, 1 \oplus 5 = 26, 2 \oplus 5=29, 2 \oplus 26=680$ ну и так далее.

Руст писал(а):

Я могу ещё представить не коммутативное сложение. Однако не ассоциативное нет. В этом случае произведение не определяется через сложение по вашей схеме через повторные сложения.

Тоже что-то не понял. Какая разница, есть ассоциативность или нет $(2 \oplus 2) \oplus 2=2 \oplus (2 \oplus 2)$

незваный гость писал(а):

:evil:

Борис Лейкин писал(а):

Нулевой элемент $a \oplus e=a, e=\sqrt{a-a^2}$

Да и нулевой элемент у Вас интересный: зависит от того, с чем складываете. То есть, не универсальный! Какому же из них, нулей, должно быть равно $a + \overline a$?!?

Да, точно, что-то тут не то. Получилось, что $a + \overline a \neq \overline a + a$

PAV писал(а):

Вряд ли это можно разумным образом определить.

У меня почему-то такая мысль: а не связано ли всё это как то вот с этим The Mysteries of Counting: Euler Characteristic versus Homotopy Cardinality


Попробую ещё помучить такую штуку: $a \oplus b=a+b-ab$

[Руст]

Борис Лейкин писал(а):

Руст писал(а):

Я могу ещё представить не коммутативное сложение. Однако не ассоциативное нет. В этом случае произведение не определяется через сложение по вашей схеме через повторные сложения.

Тоже что-то не понял. Какая разница, есть ассоциативность или нет $(2 \oplus 2) \oplus 2=2 \oplus (2 \oplus 2)$

Попробую ещё помучить такую штуку: $a \oplus b=a+b-ab$

Если в алгебре есть сложение и умножение, являющееся повторным сложением, то дистрибутивность эквивалентно ассоциативности сложения. Алгебры без дистрибутивности не представляют интереса. Поэтому, я не могу представить, кого может заинтересовать не ассоциативное сложение.
Эта операция хороша тем, что коммутативно и ассоциативно. Только она не дистрибутивна с обычным умножением.

[нг]

Это уже заметно лучше. По крайней мере, операция ассоциативна.

Очевидно, что $\overline 0$ равен $0$. А вот c обратимостью проблемка: $1$ (не спутайте с $\overline 1$) не имеет обратного. Но его ($1$) можно выкинуть к черту, и все станет хорошо (на ${\mathbb R} \setminus \{1\}$).

[RIP]

Борис Лейкин писал(а):

Попробую ещё помучить такую штуку: $a \oplus b=a+b-ab$

По сути это самое обычное умножение: Если обозначить $f(x)=1-x$, то $f(a\oplus b)=f(a)\cdot f(b)$

[Руст]

RIP писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

Попробую ещё помучить такую штуку: $a \oplus b=a+b-ab$

По сути это самое обычное умножение: Если обозначить $f(x)=1-x$, то $f(a\oplus b)=f(a)\cdot f(b)$

Вообще то в этом форуме уже обсуждали, что если операция на R коммутативно, ассоциативно и непрерывно, то с помощью некоторой функции сводится к обычному умножению.

[Борис Лейкин]

$f(a,bc)=f(a,b)f(a,c), f(a,b)=?$
Направьте меня пожалуйста в нужном направлении, я больше не могу уже сам

[Руст]

Например $f(x,y)=y^{tx}$. Если брать все непрерывные решения, то они сводятся к $f(x,y)=|y|^{g(x)}sign(x)^{m(x)}$, где g(x) произвольная непрерывная функция, m(x) - целочисленная функция со значениями 0 или 1.

[Борис Лейкин]

Руст писал(а):

Например $f(x,y)=y^{tx}$.

А я искал коммутативную и ассоциативную.

Вобщем идея была: если рассмотреть всякие алгебраические операции как $a \oplus b$, какие можно придумать к ним $a \otimes b$, чтобы была дистрибутивность, и зачем всё это надо, я сам не знаю.

[Руст]

Коммутативную, ассоциативную непрерывную операцию можно преобразованием привести к обычному сложению. Тогда дистрибутивность непрерывной операции по отношению к нему есть полугруппа линейных операторов, которая приводится к обычному умножению с соответствующим преобразованием g, который я записал в мультипликативной форме.

[Борис Лейкин]

Руст писал(а):

Коммутативную, ассоциативную непрерывную операцию можно преобразованием привести к обычному сложению. Тогда дистрибутивность непрерывной операции по отношению к нему есть полугруппа линейных операторов, которая приводится к обычному умножению с соответствующим преобразованием g, который я записал в мультипликативной форме.

Я чувствовал, что так и будет. А где поподробнее об этом можно почитать, скажите пожалуйста?