Теория множеств. Дистрибутивность

[Asker Tasker]

Доброго времени суток!
Буду очень благодарен, если подскажите, верен ли ход доказательства дистрибутивности объединения множеств относительно пересечения.

Требуется доказать следующую формулу: $\left(\bigcap_{k}A_{k} \right)\bigcup{B} = \bigcap_{k}\left(A_{k}\bigcup{B} \right)$

Доказываем
$x\in \left(\bigcap_{k}A_{k} \right)\bigcup{B}\Leftrightarrow x\in \bigcap_{k}A_{k} \vee x \in B \Leftrightarrow \left(\forall k\; x \in A_{k} \right) \vee x \in B$

Но так как множество В от k не зависит, имеем:
$\left(\forall k\; x \in A_{k} \right) \vee x \in B \Leftrightarrow \forall k\; \left(x \in A_{k} \vee x \in B \right) \Leftrightarrow \forall k\; x \in \left(A_{k}\bigcup{B} \right) \Leftrightarrow x \in \bigcap_{k}\left(A_{k}\bigcup{B} \right)$

[Maximpg]

Лучше опустить бессмысленную конструкцию "множество В от k не зависит", это же не функция. И по-моему, вот это утверждение

Цитата:

$\left(\forall k\; x \in A_{k} \right) \vee x \in B \Leftrightarrow \forall k\; \left(x \in A_{k} \vee x \in B \right) $

является выражением дистрибутивности кванторов и по степени тривиальности эквивалентно утверждению теоремы. То есть это просто ее перевод. Следует теперь, например, просто рассмотреть случаи, когда $x \in B$ и обратное.

[Asker Tasker]

Спасибо.