Определение связного множества

[versta]

В литературе встречаются следующие (хотя есть и другие) определения связного множества.

1. $E$ связное, если его нельзя представить в виде $E=A\cup B$, где
$A\not=\emptyset$, $B\not=\emptyset$, $\bar A \cap B=\emptyset$, $A\cap \bar B=\emptyset$.

2. $E$ связное, если не существуют два открытых множества $U$ и $V$ таких, что
$U\cap V=\emptyset$, $E\cap V \not=\emptyset$, $E\cap U\not=\emptyset$, $E\subset U\cup V$.

Из 1 следует 2.
Вопрос: в каких топологических пространствах (метрических, $\mathbb{R}^n$) справедливо обратное.

[Someone]

versta в сообщении #578901 писал(а):

Вопрос: в каких топологических пространствах (метрических, $\mathbb{R}^n$) справедливо обратное.

Ни в каких, потому что пропущено существенное условие: $E\cap U\cap V=\varnothing$.

[versta]

Ясно, что если в 2 этим условием заменить условие $U\cap V=\emptyset$, то из 2 следует 1 (и данное определение мне знакомо). Однако в некоторых источниках утверждается, что для $\mathbb{R}^n$ достаточно сформулированного в 2. Например из 2 следует 1 в $\mathbb{R}^1$. Хотелось бы, для начала, понять как строить непересекающиеся открытые множества $U$ и $V$ в $\mathbb{R}^n$, указанные в 2.

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #578998 писал(а):

versta в сообщении #578901 писал(а):

Вопрос: в каких топологических пространствах (метрических, $\mathbb{R}^n$) справедливо обратное.

Ни в каких, потому что пропущено существенное условие: $E\cap U\cap V=\varnothing$.

Так у него же сказано $U \cap V = \varnothing$. Из этого следует $E \cap U \cap V = \varnothing$.

[Someone]

versta в сообщении #579237 писал(а):

Ясно, что если в 2 этим условием заменить условие $U\cap V=\emptyset$, то из 2 следует 1 (и данное определение мне знакомо).

Ой, я же прозевал это Ваше условие $U\cap V=\varnothing$ в пункте 2... Тогда действительно из 2 не следует 1.

Вообще, удобнее работать с определением несвязности. Там нет этого внешнего отрицания.
Приведённые Вами определения эквивалентны в классе наследственно нормальных пространств (даже аксиому $T_1$ можно исключить).

Профессор Снэйп в сообщении #579273 писал(а):

Так у него же сказано $U \cap V = \varnothing$.

Да, я это только что заметил, и, пока писал, появилось Ваше сообщение.

[Padawan]

Условия 1 и 2 эквиваленты. Условие 2 -- это внутреннее определение связности множества $E$ как подпространства с индуцированной топологией.
Условие 1 -- то же самое. Посмотрите во втором томе Куратовского http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kuratovskij_t2_1969ru.djvu. Или сами докажите.

[versta]

Посмотрел Куратовского 1-й том. Насколько я понял, $1\Leftrightarrow 2$ в наследственно нормальных пространствах (об этом уже писал Someone). К этим пространствам, в частности, относятся метрические (результат Урысона).

[Padawan]

versta
Укажите, пожалуйста, страницу, где посмотрели.

[versta]

Куратовский Топология Том 1, Глава 1, V, Теорема 1, (Мир 1966, стр 136)

[Padawan]

Понял свою ошибку. Вот если бы в условии 2 стояло $E\cap U\cap V=\varnothing$, то тогда оно и вправду было бы эквивалентно связности $E$. А так, видимо да, только в наследственно нормальных их можно взять непересекающимися.