Оценить порядок очень большого числа

[Иван_85]

Оценить порядок $\ln n,$ где $n$ - 100 000 000-значное натуральное число (в десятичной системе счисления); 1000 000 000 - значное натуральное число.

[Xaositect]

Запишите условие на $n$ в виде неравенства, затем перейдите к основанию 10 и воспользуйтесь монотонностью логарифма.

[mihailm]

100 000 000-значное натуральное число - это десять в какой степени?

[Munuvonaza]

Иван_85 в сообщении #580019 писал(а):

Оценить порядок где - 100 000 000-значное натуральное число (в десятичной системе счисления); 1000 000 000 - значное натуральное число.

Кажется подобную задачу можно решить достаточно просто, если перейти от натурального логарифма к десятичному, ведь в таком случае десятичный логарифм N-значного числа будет равен N с точностью до округления до ближайшего целого числа в большую сторону
То есть $N = [\ln x] = [\frac{\lg x}{\lg e}] = [\frac{\lg x}{0.434294}]$ , где $[y]$ есть операция взятия ближайшего целого числа, превышающее представленное дробное число
Очевидно что для первого случая, $N_1=[100000000/0.434294]=230258510$ цифр, и для второго случая $N_2=[1000000000/0.434294]=2302585093$ цифры соответственно
Если предложенный вариант несколько расходится с правильным ответом, то надо уточнить число $\lg e$, то есть увеличить число рассчитываемых значащих разрядов в нем

[mihailm]

Munuvonaza
вы правила форума читали?

[Munuvonaza]

mihailm в сообщении #580031 писал(а):

Munuvonaza
вы правила форума читали?

Возможно не целиком, но вроде бы правило размещения формул в $TeX$ выполнено, и ошибки в ответе нет... К сожалению не знаю, что конкретно Вам не понравилось в предшествующем сообщении...
Видимо необходимо взять более точное приближение величины $\lg e$, чтобы удостовериться в правильности предложенного ответа

[Иван_85]

$10^{99\;999\;999} \leqslant n< 10^{100\;000\;000},$
$\lg 10^{99\;999\;999}\leqslant \lg n< \lg 10^{100\;000\;000},$
$99\;999\;999\leqslant \frac{\ln n}{\ln 10} < 100\;000\;000,$
$99\;999\;999\cdot \ln 10\leqslant \ln n < 100\;000\;000\cdot \ln 10.$
Правильно?
$\ln n\in [230\;258\;507;\;230\;258\;509]$

[Xaositect]

Munuvonaza, запрещено размещать решения простых учебных задач
Иван_85, правильно. Вас просят найти порядок, так что наверное надо записать нижнюю и верхнюю границы для $\ln n$ в виде $a\cdot 10^{k}$, можно не слишком точно, с точностью до порядка.

[Иван_85]

Слишком маленькая вероятность наткнуться на просто число при больших n =(

[Toucan]

Munuvonaza, замечание за размещение решения простой учебной задачи.
Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27358.html#p27358 писал(а):

2. Помощь в решении учебных задач
Форум способствует процессу обучения и образования, а не процессу сдачи зачетов и экзаменов, тем более при отсутствии необходимых для этого знаний. Во всех разделах форума запрещается размещать готовые решения простых учебных задач. "Готовым решением" считается такое решение, в котором подробно расписаны все основные шаги, за исключением, возможно, несущественных деталей (вычислений, простых преобразований и т.д.).