Асимптотическая плоскость

[Shtorm]

Подскажите пожалуйста методику или формулы по которым находится уравнение асимптотической плоскости для функции двух переменных. В книгах я не нашёл. В интернете есть уравнения содержащие непонятные обозначения. Может посоветуете в какой литературе это точно есть?

[mihailm]

А определение то этой плоскости есть или придумать надо?

[Shtorm]

mihailm в сообщении #580013 писал(а):

А определение то этой плоскости есть или придумать надо?

Определение конечно есть:

Асимптотическая плоскость - плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке, но не лежащая вся в бесконечности. Ну, то есть полная аналогия с асимптотой функции одной переменной, только в трехмерном пространстве и не прямая, а плоскость.

[mihailm]

Shtorm в сообщении #580021 писал(а):

mihailm в сообщении #580013 писал(а):

А определение то этой плоскости есть или придумать надо?

Определение конечно есть:

Асимптотическая плоскость - плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке, но не лежащая вся в бесконечности. Ну, то есть полная аналогия с асимптотой функции одной переменной, только в трехмерном пространстве и не прямая, а плоскость.

Надо же!

(Оффтоп)

Какая чепуха)))

[ИСН]

Это слишком частный вопрос. Примерно как "подскажите книгу по уравнениям, в которых коэффициент при x равен 3." Если знаете про обычные (т.е. прямые) асимптоты - то разберётесь и с плоскостями.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #580025 писал(а):

Это слишком частный вопрос. Примерно как "подскажите книгу по уравнениям, в которых коэффициент при x равен 3." Если знаете про обычные (т.е. прямые) асимптоты - то разберётесь и с плоскостями.

То есть по Вашему, если человек изучил тему функции одной переменной, то ему все будет понятно (без учебников и преподавателей) и по теме "Функции нескольких переменных"??

[ИСН]

Нет. Там есть принципиальные отличия. А тут нету.

-- Вс, 2012-06-03, 01:55 --

Хотя да, Ваша асимптотическая плоскость опирается на само понятие функции от нескольких переменных, которое придётся по каким-нибудь книгам изучить.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #580050 писал(а):

Нет. Там есть принципиальные отличия. А тут нету.

Тогда объясните такую вещь: в разделе "Функция одной переменной" подробно рассматривается тема: уравнение касательной к графику функции. А в разделе "Функции нескольких переменных" не менее подробно рассматривается тема: касательная плоскость к поверхности. Следуя Вашей логике, авторам учебников нужно было там написать: ну а уравнение касательной плоскости - слишком частный случай, чтобы расписывать. Поняли касательную к графику функции одной переменной, - сами разберётесь и с касательной плоскостью

Вы бы лучше всё-таки мне намекнули с чего начать вывод формулы.

[ewert]

Shtorm в сообщении #580021 писал(а):

плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке

Давайте начнём с того, что бесконечно удалённой точки для поверхностей вообще не существует. Её и для кривых-то не существует, говоря формально; чего уж и о поверхностях-то говорить.

[Shtorm]

ewert в сообщении #580056 писал(а):

Shtorm в сообщении #580021 писал(а):

плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке

Давайте начнём с того, что бесконечно удалённой точки для поверхностей вообще не существует. Её и для кривых-то не существует, говоря формально; чего уж и о поверхностях-то говорить.

Мне тоже это место показалось сомнительным, но не самому же выдумывать определение. Поэтому скопировал определение из интернета как оно там было. Ну тогда давайте, глядя на определение асимптоты, данное в Википедии попробуем сформулировать определение асимптотической плоскости: Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек поверхности до этой плоскости стремится к нулю при удалении точек вдоль поверхности в бесконечность.

[ewert]

Shtorm в сообщении #580059 писал(а):

Ну тогда давайте, глядя на определение асимтоты, данное в Википедии

Давайте. Но давайте сначала всё же глянем на это определение (а то в вике, знаете ли, всякие чудеса случаются, предугадать которых я лично не в силах).

Shtorm в сообщении #580059 писал(а):

Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек поверхности до этой плоскости стремится к нулю при удалении точек вдоль поверхности в бесконечность.

В отличие от кривых -- для поверхностей такого, грубо говоря, не бывает. Т.е. для поверхностей подобное поведение совершенно неестественно (в отличие от кривых) и потому никому не интересно. Причина -- в различии размерностей; ну, или если угодно, степеней свободы.

[Shtorm]

ewert в сообщении #580064 писал(а):

В отличие от кривых -- для поверхностей такого, грубо говоря, не бывает. Т.е. для поверхностей подобное поведение совершенно неестественно (в отличие от кривых) и потому никому не интересно. Причина -- в различии размерностей; ну, или если угодно, степеней свободы.

Позвольте с Вами не согласиться. Первый наглядный пример, который приходит в голову - это гиперболический цилиндр. Пишем уравнение для трёхмерного пространства, например

$x^2 - z^2 = 1$

Совершенно очевидно, что асимптотическими плоскостями для этой поверхности будут плоскости заданные уравнениями:

$z = x$ и $z = -x$

Возьмём вообще любую функцию одного переменного, имеющую асимптоту и напишем это уравнение в трёхмерном пространстве. Получим поверхность, имеющую асимптотическую плоскость.

[ИСН]

Shtorm в сообщении #580068 писал(а):

стремится к нулю при удалении точек вдоль поверхности в бесконечность.

Я беру на поверхности точку (1,0,0). Нет возражений? Теперь я удаляюсь в точку (1,100500,0) - я всё ещё на поверхности, прошу заметить! - и дальше на бесконечность в том же направлении. И что, я приближаюсь к плоскости?

-- Вс, 2012-06-03, 03:40 --

Вы меня убедили, эта область заслуживает своей теории. В обычных школьных книгах её нет, потому что надо же было на чём-то остановиться.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #580070 писал(а):

Я беру на поверхности точку (1,0,0). Нет возражений? Теперь я удаляюсь в точку (1,100500,0) - я всё ещё на поверхности, прошу заметить! - и дальше на бесконечность в том же направлении. И что, я приближаюсь к плоскости?

Если Вы двигались по прямой, а не по кривой, и если эта прямая лежит на поверхности - то конечно Вы не приблизились к асимптотической плоскости. Если Вы двигались по кривой, то поверхность явно имеет сильно выгнутую (сильно вогнутую форму) - следовательно опять таки никакого приближения к асимптотической плоскости нет. Это говорит о том, что моё определение - не точное. Надеюсь, что в процессе дискуссии мы выработаем более адекватное определение.

ИСН в сообщении #580070 писал(а):

Вы меня убедили, эта область заслуживает своей теории. В обычных школьных книгах её нет, потому что надо же было на чём-то остановиться.

Я то вообще думал, что эта теория уже есть. Думал, что просто не смог её найти. А про школьные учебники я даже не думал. Я полностью ориентировался на учебники для вузов.

[ИСН]

Ещё раз попробую нащупать формулировку. В учебниках для 2 класса складывают и умножают числа до 10 (это условно, я уж не помню, как оно там на самом деле). В учебниках для 3 класса складывают и умножают двузначные числа. Что будет в учебниках для 10 класса? 9-значные числа? Нет! Там вообще почти не будет никаких чисел, а будет более высокая теория.
Вот примерно поэтому в вузовских учебниках нет теории асимптотических плоскостей.