Преобразование Гильберта. Функции Грина в ФТТ.

[FFFF]

Добрый вечер, интересует литература по ФТТ, или конденсированному состоянию, где используется преобразование Гильберта для выражения функции Грина через плотность состояний, через опережающую и запаздывающую функцию Грина и т.д. Также было бы здорово узнать, когда существует преобразование Гильберта. Гигантский двухтомник Hilbert transform мне, к сожалению, не помог.

[Kamaz]

Может быть Гейзенберга? Посмотрите Абрикосов Горьков Дзялошинский Методы КТП в статистической физике. Там все, что вы написали есть. Кроме Гильберта.

[type2b]

Вас, видимо, интересует спектральное представление aka представление Челлена-Лемана aka соотношения Крамерса-Кронига aka дисперсионные соотношения. В контексте QFT про это неплохо написано, например, во втором томе Бьеркена-Дрелла. Вообще, в любом учебнике по QFT это есть. Пара слов про преобразование Гильберта есть в урматах Бицадзе, но если у вас есть аццкий двухтомник, то это неактуально.
Я не знаю фтт, так что может это не по делу, но что конкретнее вам нужно?

[Kamaz]

Ах, вон как. Если речь о спектральных предстаавлениях, то в книге, которую я указал, это есть. Она, кстати, посвящена именно ФТТ. Ну, собссно, и в ЛЛ тоже есть.

[FFFF]

Kamaz
Абрикосова-Горькова-Дзялошинского я, конечно, знаю, но там нужного не нашёл.
type2b
"соотношения Крамерса-Кронига" - как раз то, что нужно, не знал, как такая штука называется. Действительно, это должно быть известной вещью в КТП, т.к. многие методы оттуда перекочевали в ФТТ. У меня преобразование чуть отличается, из-за того, что при вычислении функции Грина нужна регуляризация и из-за неё в знаменатель функции Грина входит такая неприятная вещь, как $i \mathrm{sign}(\omega)\eta$, где $\eta$ - бесконечно-малая величина.
Если конкретнее, то я хочу понять, почему (какие условия надо наложить), если $F(\omega)=F_\mathrm{R}(\omega)- i \mathrm{sign}(\omega)F_\mathrm{I}(\omega)$, то

$$ F_\mathrm{R}(\omega)=\frac{1}{\pi}v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{F_\mathrm{I}(\omega_1)d\omega_1}{\omega-\omega_1}$$

Далее я хочу получить интегральное выражение для запаздывающей и опережающей функции Грина через "полную":

$$G^{\pm}(\omega)=\frac{1}{2 \pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{G(\omega_1)d\omega_1}{\omega-\omega_1\pm i\eta}$$

При этом, за определение $G^{\pm}$ я считаю такое выражение:

$$G^{\pm}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{G_\mathrm{I} (\omega_1)\theta(\pm \omega_1)d\omega_1}{\omega-\omega_1\pm i\eta}$$

Если попробовать проверить в лоб, то получаются вещи похожие, но не одинаковые, вот и хочу разобраться, в чём проблема.

[FFFF]

Множитель $\frac{1}{\pi}$ перед интегралом забыл в последнем выражении

[Kamaz]

ТОгда посмотрите Левитов Шитов "Функци Грина. Задачи и решения." В сети есть вроде. Смотреть, если память мне не изменяет, в задачах к главе по температурным функциям грина

[FFFF]

Kamaz
Окей, посмотрю, спасибо. А так, мои функции Грина при $T=0$

[Kamaz]

ну это видно по формулам

[Vince Diesel]

FFFF в сообщении #579573 писал(а):

Также было бы здорово узнать, когда существует преобразование Гильберта.

Какие именно пространства интересуют? Есть теорема Рисса, что оно является ограниченным оператором в $L_p(\mathbb R)$, $<1<p<\infty$. Для $p=1$ и $p=\infty$ это неверно. Преобразование Гильберта переводит действительную часть в мнимую и обратно, так что по свойсвам изменения гладкости совпадает со своим обратным. Грубо говоря, гладкость примерно равна гладкости исходной функции, может быть чуть хуже, как в случае $L_1(\mathbb R)$ и $L_\infty(\mathbb R)$.

[FFFF]

Vince Diesel
Все функции из $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$

[Vince Diesel]

Теорема Рисса, причем $L_2$ норма преобразования не превосходит нормы исходной функции, см. ссылку выше.

[type2b]

Ошибка: там не сигнум $\omega$, а сигнум мнимой части $\omega$. Смысл этой формулы в том, что функция аналитична в верхней полуплоскости, ее можно продолжить по Шварцу в нижнюю, но тогда будет разрез -- мнимая часть будет менять знак. Формула Крамерса-Кронига связывает тогда вещественную часть на разрезе с этим скачком. Прочитайте соотв. параграф из второго тома Бьеркена-Дрелла, очень рекомендую.
Далее, когда $G^{\pm}$ продолжили в верхнюю/нижнюю полуплоскость, для них можно писать формулу Коши, и это ваша вторая формула. А что такое полная функция Грина?
Советую также писать ф. Грина через определение, тогда легче видеть аналитические свойства их фурье-преобразований.
Третью формулу не понял.

[FFFF]

type2b
Так дело в том, что у меня $\omega$ - это вещественное число, энергия. У меня изначально функция Грина зависела от разности времён, как обычно $G(t_2-t_1)=-i\langle T(c(t_1)c^\dag(t_2))\rangle$ Я сделал преобразование Фурье, перешёл к $G(\omega)=\frac{1}{\omega-\Sigma(\omega)+i\mathrm{sign}(\omega)\eta}$ Пусть здесь $\Sigma(\omega)$ - это некоторая собственная энергия. Конкретно последнюю формулу для $G^{\pm}$ мне надо доказать, исходя из второй, в последней $G_\mathrm{I}(\omega)=-i\mathrm{sign}(\omega)\mathrm{Im}G(\omega)$
Пока у меня получается, что с запаздывающей всё ок, а опережающая отличается только знаком. Я, к сожалению, довольно слабо представляю что есть такое $G^{\pm}$, я просто знаю для неё выражение и от этого пляшу.