Уравнения математической физики

[Anhen]

Помогите пожалуйста pешить краевую задачу Дирихле в прямоугольнике. Вот условие
\left\{ \begin{array}{l} [math]$\Delta$u(x,y)=$(A*y)^2 = 2 ^ (A*y)$, 0<x<pi; u(0,y)=A 0<x<pi/2; u'x(pi,y)=0 u(x,pi/2)=x u'y(x,0)=0 \end{array} \right. $

Очень надо!!!:)

P.S. Прошу прощения, если производные в краевых условиях не очень видны. Я не совсем еще освоилась на форуме)

[нг]

Исправьте, пожалуйста, формулы.

[sadomovalex]

Anhen писал(а):

\Delta u(x,y)=(A*y)^2 = 2 ^ (A*y), 0<x<pi;

правильно ли я понял, что нужно найти функцию $u(x,y)$, которая одновременно удовлетворяет двум неоднородным уравнениям Лапласа:
$\Delta u(x,y)=(Ay)^2$ и
$\Delta u(x,y)=2^{Ay}$
?
если да, то это возможно лишь когда $(Ay)^2=2^{Ay}$, т.к. в противном случае нарушилась бы теорема единственности

[Anhen]

Нужно найти функцию u(x,y), которая удовлетворяет неоднородному уравнению Лапаса с заданными краевыми условиями.
$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u(x,y)=A*(y)^2 , & 0<x<\pi; \\ u(0,y)=A & 0<x<\pi/2; \\ u'_x(\pi,y)=0 & u(x,\pi/2)=x \\ u'_y(x,0)=0 & \\ \end{array} \right. $

На сколько я представляю, можно данную задачу разбить на две: однородную и неоднородную и, соответственно, краевые условия. Для первой задачи найти собственные функции, вычислить соответствующие коэффициенты Фурье, и подставить в общий вид решения. А ворую - решать методом разделения переменных; далее, найти собственные функции,коэфициенты Фурье и подставить в общий вид решения.

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u(x,y)=A*(y)^2 , & 0<x<\pi; \\ u(0,y)=A & 0<x<\pi/2; \\ u'_x(\pi,y)=0 & u(x,\pi/2)=x \\ u'_y(x,0)=0 & \\ \end{array} \right. $

[Fgolm]

А так можно решить? Свести уравнение Пуассона к уравнению Лапласа.
Представим, что в правой части уравнения Пуассона стоит плотность источников поля: $\rho \left( {x_Q ,y_Q } \right) =- Ay^2 $. (1)
Тогда искомую функцию можно представить в виде суммы:
$u\left( {x_M ,y_M } \right) = {1 \over {2\pi }}\int\limits_x {\int\limits_y {{{\left( { - Ay^2 } \right)} \over {\left( {x - x_M } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 }}} } dxdy + \Psi \left( {x_M ,y_M } \right)$. (2)
Здесь $\Psi \left( {x_M ,y_M } \right)$ - гармоническая функция, удовлетворяющая однородному уравнению Лапласа ($M \in S$); а интеграл можно взять, т.к. он не содержит неизвестных (интегрирование ведется по прямоугольной области).
Теперь подставляем (2) в граничные условия для функции $u\left( {x_M ,y_M } \right)$ и получаем граничные условия для функции $\Psi \left( {x_M ,y_M } \right)$.
И затем решаем однородное уравнение Лапласа при полученных граничных условиях для функции $\Psi \left( {x_M ,y_M } \right)$, например, методом разделения переменных. Решение этого уравнение подставляем в (2).
$\Psi \left( {0,y_M } \right) = A - {1 \over {2\pi }}\int\limits_x {\int\limits_y {{{\left( { - Ay^2 } \right)} \over {x^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 }}} } dxdy;$

$$\Psi '_{\rm{x}} \left( {\pi ,y_M } \right) = - {1 \over {2\pi }}\int\limits_x {\int\limits_y {\left( {{{\left( { - Ay^2 } \right)} \over {\left( {x - \pi } \right)^2 + \left( {y - y_M } \right)^2 }}} \right)} } _x ^\prime dxdy;$$

$$\Psi '_{\rm{y}} \left( {x_M ,0} \right) = - {1 \over {2\pi }}\int\limits_x {\int\limits_y {\left( {{{\left( { - Ay^2 } \right)} \over {\left( {x - x_M } \right)^2 + y^2 }}} \right)} } _y ^\prime dxdy;$$

$\Delta \Psi = 0.$

[sadomovalex]

Anhen писал(а):

Нужно найти функцию u(x,y), которая удовлетворяет неоднородному уравнению Лапаса с заданными краевыми условиями.
$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u(x,y)=A*(y)^2 , & 0<x<\pi; \\ u(0,y)=A & 0<x<\pi/2; \\ u'_x(\pi,y)=0 & u(x,\pi/2)=x \\ u'_y(x,0)=0 & \\ \end{array} \right. $

проверьте пожалуйста граничные условия. Во первых, второе неравенство $0<x<\pi/2$ - мне кажется, что это все-таки $0<y<\pi/2$. Во-вторых, при этом используя первое граничное условие для $y=\frac{\pi}{2}$, получаем, что $u(0,\frac{\pi}{2})=A$, но из последнего граничного условия при $x=0$, получаем, что $u(0,\frac{\pi}{2})=0$, т.е. $A=0$