Интеграл с переменным верхним пределом

[Sjutka]

Здравствуйте!
Обращаюсь за помощью в поисках ответа на следующей вопрос: как определяется значение верхнего предела интеграла следующего вида

$$F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t) dt, x\in\left[a,b\right].$$

На данный момент рассматриваю возможность использования свойства интеграла с переменным верхним пределом (коректно ли это)

$$F'(x)\simeq\frac {d} {dx} \int\limits_{a}^{x} f(t) dt\simeq f(x).$$

Спасибо!

[--mS--]

Значение верхнего предела никак не определяется. Оно задаётся: берёте $x=3$ (например, при $a=0$, $b=10$), получаете $F(3)=\int\limits_0^3f(t)\,dt$, берёте $x=5$, получаете интеграл от нуля до пяти и т.п.
Ну, если в равенстве с производной написать "почти всюду" равно, то будет лучше.

[gris]

Это справедливо, если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$.
Для существования функции $F(x)$ достаточно интегрируемости функции $f(x)$ на этом интервале. Тогда для каждого значения $x$ будет существовать определённый интеграл.

[Sjutka]

gris в сообщении #579509 писал(а):

Это справедливо, если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$.

Да, записывая выражение для $F(x)$, предполагал, что функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$

gris в сообщении #579509 писал(а):

Это справедливо, если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$.
Для существования функции $F(x)$ достаточно интегрируемости функции $f(x)$ на этом интервале. Тогда для каждого значения $x$ будет существовать определённый интеграл.

Имеется в виду следующее

$$F_1(x_1)=\int\limits_{a}^{x_1} f(t) dt, .., F_i(x_i)=\int\limits_{a}^{x_i} f(t) dt, .., F_n(x_n)=\int\limits_{a}^{x_n} f(t) dt, x_i\in (a,b)$$

--mS-- в сообщении #579505 писал(а):

Значение верхнего предела никак не определяется. Оно задаётся: берёте (например, при , ), получаете , берёте , получаете интеграл от нуля до пяти и т.п.

Таким образом, можно констатировать - переменный верхний предел интеграла определить не возможно, его значение задается!?

[gris]

Переменный верхний предел является аргументом функции $F(x)$. Он изменяется, и с ним изменяется функция (почти всегда .

[Sjutka]

Sjutka в сообщении #579525 писал(а):

--mS-- в сообщении #579505 писал(а):

Значение верхнего предела никак не определяется. Оно задаётся: берёте (например, при , ), получаете , берёте , получаете интеграл от нуля до пяти и т.п.

Таким образом, можно констатировать - переменный верхний предел интеграла определить не возможно, его значение задается!?

Правильно ли я понял Вас,"gris", и "--mS-- " !?

[ИСН]

Ну Вы можете ответить на вопрос, чему равно $z$?

[gris]

А что Вы имеете в виду под словом "определить"? $F(x)$ такая же обычная функция переменной $x$, как синус или экспонента, только записана в виде интеграла. Как можно определить $x$ в функции $F(x)=4x^2$.
Может быть Вы хотите найти некоторое значение $x$, при котором интеграл равен какому-то чмслу?

[ИСН]

gris, ну разве же можно так прямолинейно, ну. "А не в 41 ли году началась война?"

[Sjutka]

ИСН в сообщении #579554 писал(а):

Ну Вы можете ответить на вопрос, чему равно ?

Вопрос по поводу $z$ не понял, ! Не могли бы Вы уточнить, что имели в виду под $z$?

gris в сообщении #579555 писал(а):

Может быть Вы хотите найти некоторое значение $x$, при котором интеграл равен какому-то чмслу?

Да, мне нужно найти значения $x$ в предполагая, что значения $F(x)$ известны, .

[ИСН]

Да ничего я не имел в виду, ну. gris всё испортил. Ну вот я спрошу: чему равно z? Вы: какое такое z? А я такой: ну, обычное z. Что про него дано? Да ничего. Ну и чему оно равно?
Вот примерно на это был похож Ваш первоначальный вопрос.

[gris]

А я просто предчувствовал вопрос
То есть, например, надо решить уравнение $\int\limits_0^x e^{-t^2}dt= 1$
Интеграл не берётся. И что? Численно, по таблицам, с помощью рядов. Много методов. Но как точно найти и желательно в элементарных функциях? Загадка...
Один студент нашёл, а его в армию забрали, проверять формулу Бернулли.