Сжимающие отображения c "неравноменрым" коэффициентом сжатия

[maiklb2012]

Является ли отображение $f:R \to R$ удовлетворяющее $||f^{k+1}(x)-f^{k}(x)||\leqslant c^{k}||f^{k}(x)-f^{k-1}(x)||$, где $f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))$ сжимающим если $c^k \to 1 $ ? И при каких условиях это отображение имеет неподвижную точку?

[Kallikanzarid]

$c = 1$.

[muzeum]

Естественно считать, что все $c_k<1$, при этом $f^0(x)=x$ и $k$ - неотрицательное целое.
Рассмотрите функцию выпуклую вверх и монотонно возрастающую, всюду дифференцируемую с производной строго меньше 1. Для такой функции может выполняться неравенство $f(x)<x$.
Если при этом для каждого $k$ имеет место $c_k<c<1$, при некотором $c$, вообще говоря, зависящем от $x$, а данная функция непрерывна, то неподвижная точка существует

[maiklb2012]

Я думаю, что нужно дополнительное условние на $c^{k}$. Иначе, если $c^{k}$ стремится к $1$ "слишком быстро," то данное отображение не имеет неподвижной точки. Это противоречит тому, что сжимающее отображение имеет неподвижную точку в полном пространстве.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»