Найти мощность множества

[g______d]

Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

Одним из способов доказательство является тот факт, что любое бесконечное множество $A$ изоморфно $A\times\mathbb N$.

[Yana Romanova]

Integrall в сообщении #579221 писал(а):

Для этого необходимо выбрать некое подмножество иррациональных чисел и отобразить взаимно однозначно в множество классов эквивалентности.

Какое, например? Подойдёт множество с конкретными числами?

-- 01.06.2012, 02:52 --

Joker_vD в сообщении #579223 писал(а):

А нельзя ли так? Возьмем множество этих классов эквивалентности, выберем из каждого по одному элементу и составим из них новое множество $A$. Оно будет равномощно множеству всех классов эквивалентности, и легко показать, что $|A\times\mathbb Q|=|\mathbb R|$...

g______d в сообщении #579224 писал(а):

Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

Одним из способов доказательство является тот факт, что любое бесконечное множество $A$ изоморфно $A\times\mathbb N$.

Спасибо. Как я поняла, чтобы найти мощность, надо построить биективную функцию из $A\times\mathbb Q$ в $\mathbb R$. Множество $A\times\mathbb Q$ будет равномощно множествам $A$ и $\mathbb R$. Значит, мощность будет равна континууму.
Но я ещё не совсем понимаю, что значит "оценить сверху и снизу". Я знаю теорему Кантора-Бернштейна. Но как мы можем определить, что мощность какого-то равномощного множества больше, а какого-то - меньше? На нашем примере хотя бы.

[Integrall]

g______d в сообщении #579224 писал(а):

Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

аксиома выбора не нужна, т.к. мы строим классы эквивалентности через представители явно, а не наоборот. Единственно, что нужно знать - свойства действительных чисел.

Yana Romanova в сообщении #579226 писал(а):

Какое, например? Подойдёт множество с конкретными числами?

естественно нужно использовать такие иррациональные числе, которые при делении друг на друга не дают рациональное часное, как, например, $\sqrt {2}$ и $\sqrt {3}$. Как показать, что такие числа существуют и сколько их, разберетесь сами.

[ewert]

Каждый класс эквивалентности сам по себе счётен. И если бы множество этих классов тоже было счётным, то счётным оказалось бы и $\mathbb R$. Далее -- континуум-гипотеза.

[Yana Romanova]

Integrall в сообщении #579304 писал(а):

естественно нужно использовать такие иррациональные числе, которые при делении друг на друга не дают рациональное часное, как, например, $\sqrt {2}$ и $\sqrt {3}$. Как показать, что такие числа существуют и сколько их, разберетесь сами.

Тогда для $[x]$ возьмём представителя $\sqrt{2}+x$. Они точно будут давать иррациональное число при делении. И всего их - континуум.

ewert в сообщении #579307 писал(а):

Каждый класс эквивалентности сам по себе счётен. И если бы множество этих классов тоже было счётным, то счётным оказалось бы и $\mathbb R$. Далее -- континуум-гипотеза.

Но никто и не говорит, что множество классов эквивалентности счётно. И так очевидно, что оно континуально.

[TOTAL]

Yana Romanova в сообщении #579322 писал(а):

Но никто и не говорит, что множество классов эквивалентности счётно. И так очевидно, что оно континуально.

Если очевидно, зачем задаёте вопрос:

Yana Romanova в сообщении #578887 писал(а):

Задача: Отношение эквивалентности на $\mathbf{R}$ задано следующим образом:
$x \sim y \leftrightarrow (\exists q \in \mathbf{Q})(q \neq 0 \& x=qy)$
Какова мощность множества классов эквивалентности?

[Yana Romanova]

TOTAL в сообщении #579324 писал(а):

Если очевидно, зачем задаёте вопрос

Я-то уже поняла, но вот преподавателю нужно доказательство в подробном виде, которое я и пытаюсь разобрать.

[TOTAL]

Yana Romanova в сообщении #579326 писал(а):

Я-то уже поняла, но вот преподавателю нужно доказательство в подробном виде, которое я и пытаюсь разобрать.

Нельзя ли точно сформулировать к какому подробному доказательству стремитесь?
Хотите перечислить в явном виде все множество попарно несоизмеримых действительных чисел?

[Integrall]

Yana Romanova в сообщении #579322 писал(а):

Тогда для $[x]$ возьмём представителя $\sqrt{2}+x$. Они точно будут давать иррациональное число при делении. И всего их - континуум.

нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Вам нужно просто определить ирр. числа $\alpha, \beta$ и т.д., которые попарно "просты" $\alpha/\beta$ не принадлежит $Q$. Всех их находить и явно выписывать не нужно. Далее нужно покозать: первое, что это множество не пусто, предьявив хотябы пару таких чисел, второе, показать, что таких чисел континуум.

[Yana Romanova]

TOTAL в сообщении #579328 писал(а):

Нельзя ли точно сформулировать к какому подробному доказательству стремитесь?
Хотите перечислить в явном виде все множество попарно несоизмеримых действительных чисел?

Каждому классу эквивалентности сопоставить число $m$, (т.е. определить функцию из множества классов эквивалентности в множество чисел $m$, мощность которого будет нам известна, ну или доказать, что это континуум). Далее по теореме Кантора-Бернштейна показать, что мощность множества классов эквивалентности - это континуум. Трудность была в том, чтобы найти множество чисел $m$ (и его мощность).

Integrall в сообщении #579330 писал(а):

нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Точно, простите.

Integrall в сообщении #579330 писал(а):

нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Вам нужно просто определить ирр. числа $\alpha, \beta$ и т.д., которые попарно "просты" $\alpha/\beta$ не принадлежит $Q$. Всех их находить и явно выписывать не нужно. Далее нужно покозать: первое, что это множество не пусто, предьявив хотябы пару таких чисел, второе, показать, что таких чисел континуум.

Учитель просит явно найти и выписать.
Можно просто взять корни из простых чисел: ${\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},...}$ - множество не пусто и континуально, потому что эквивалентно множеству действительных чисел. Хотя нет, мне кажется, что оно счётно.

[g______d]

Yana Romanova в сообщении #579382 писал(а):

Учитель просит явно найти и выписать.

Очень-очень сомневаюсь, что это возможно. Понятно, что счетных систем представителей сколько угодно: $1,\pi,\pi^2,\ldots$ или $1,e,e^2,\ldots$. Но явно выписать континуальную систему без аксиомы выбора я бы не брался.

Как было выше сказано, попробуйте сделать так: просто возьмите из каждого класса по одному произвольному элементу и доказывайте, что полученная система континуальна. Например, из того, что ее мощность не больше континуума (поскольку это подмножество $\mathbb R$), и оно не счетно (т. к. иначе $\mathbb R$ представлялась бы в виде счетного объединения счетных множеств). Здесь используется гипотеза континуума.

На самом деле можно и без гипотезы континуума: как я уже говорил выше, для любого бесконечного множества $A$ верно, что $A\times\mathbb N$ равномощно $A$. Для этого нужна лемма Цорна, которая эквивалентна аксиоме выбора и которую мы используем в любом случае. По лемме Цорна стандартными рассуждениями можно показать, что бесконечное множество является объединением какого-то числа непересекающихся счетных множеств. Дальше при декартовом умножении на $\mathbb N$ можно отдельно умножать каждую компоненту и пользоваться равномощностью $\mathbb N\times\mathbb N$ и $\mathbb N$.

[Yana Romanova]

Спасибо вам.